安陆一中立体几何检测2.doc

立体几何检测2
班级____　姓名____　考号____　分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．不共面的四点可以确定平面的个数为(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．不确定
答案：C
解析：不共面的四个点中，任三点都是不共线的，因为任意三点都可以确定一个平面，共可以确定4个平面．
2．若a⊂α，b⊂β，α∩β＝c，a∩b＝M，则(　　)
A．M∈c B．M∉c C．M⊂c D．M⊄c
答案：A
解析：注意点、线、面关系的符号表示，结合公理3可知，M∈c.
3．如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB的中点，则EF的长是(　　)

A．1 B. C. D.
答案：B
解析：

设BC中点为M，连接EM，FM，则因为SB＝AC＝2，
所以EM＝FM＝1，又SB⊥AC，所以△EFM为等腰直角三角形，所以EF＝.
4．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（　　）
A．2cm B．cm C．4cm D．8cm
因为铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，所以铜质的五棱柱的体积V=16×4=64cm3，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，则a3=64解得a=4cm,故选C.
5．四面体A-BCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A-BCD的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
因为平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD,所以CD ⊥平面ABD,所以AB⊥CD,因为AB=AD =1，BD=，,所以AB⊥AD,所以AB⊥平面ACD,所以∠BAC=90°,易得BC= ，设BC中点为O,则：OA=OB=OC=OD=,即点O是四面体A-BCD外接球的球心，所以该球的体积为：，故选C.
6．已知正△ABC的边长为a，以它的一边为x轴，对应的高线为y轴．画出水平放置的直观图A′B′C′，则△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
答案：D
解析：如图：

AB＝A′B′＝a，OC＝a，则O′C′＝a.
∠C′O′B′＝45°.
∴C′到边A′B′的距离d＝O′C′sin45°＝a.
S△A′B′C′＝A′B′·d＝×a×a＝a2.

7．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E是DD1的中点，F是BB1的中点，设过点C1，E，F三点的平面为α，则正方体被平面α所截的截面的形状为(　　)
A．菱形 B．矩形
C．梯形 D．五边形
答案：A
解析：设正方体棱长为a，连接AE，C1F易发现AE∥C1F，所以平面α经过点A，所以截面是四边形AEC1F，根据勾股定理易求得AE＝EC1＝C1F＝AF＝a，所以截面为菱形．
8．三条直线a、b、c两两平行且不共面，这三条直线可以确定m个平面，这m个平面把空间分成n个部分，则(　　)
A．m＝2，n＝2 B．m＝2，n＝6
C．m＝3，n＝7 D．m＝3，n＝8
答案：C
9. 如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，且AB≠CD.如果增加一个条件就能推出BD⊥EF，给出四个条件：

①AC⊥β；②AC⊥EF；③AC与BD在β内的正投影在同一条直线上；④AC与BD在平面β内的正投影所在的直线交于一点．
那么这个条件不可能是(　　)
A．①② B．②③ C．③ D．④
答案：D
解析：当AC与BD在平面β内的正投影所在的直线相交时，平面ABCD与平面β不垂直，此时，EF与BD也不可能垂直(若EF⊥BD，由于EF⊥CD，则EF⊥平面ABCD，从而β⊥平面ABCD.)
10．已知正四棱锥P­ABCD(底面为正方形且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥)的侧棱长为2a，侧面等腰三角形的顶角为30°，则从点A出发环绕侧面一周后回到点A的最短距离为(　　)
A．2 a B．4a C．6a D．12 a
答案：C
解析：沿着PA将四棱锥展开，在平面中求解．

11．如图所示，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
答案：D
解析：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A项不成立；又平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，
∴直线BC∥平面PAE也不成立；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，
∴∠PDA＝45°，D项正确．
12．如图(1)，等腰三角形ABC满足AB＝AC＝10，BC＝12，D、E、F为AB、BC、AC的中点，现将△ADF，△BDE，△CEF分别沿DF，DE，EF折起使得A，B，C重合为一点P形成一个三棱锥P－DEF，如图(2)，则三棱锥P－DEF的体积为(　　)

A．3 B．6
C．12 D．18
答案：B
解析：由题意知PD＝PF＝DE＝EF＝5，DF＝PE＝6，取DF的中点G，连接PG，EG，则PG⊥DF，EG⊥DF，且PG＝EG＝＝4，在等腰三角形PEG中，底边PE上的高h＝＝，∴S△PEG＝PE·h＝3，又DF⊥平面PEG，∴VP－DEF＝VD－PEG＋VF－PEG＝DG·S△PEG＋FG·S△PEG＝DF·S△PEG＝×6×3＝6.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝1，过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.
答案：2
解析：如图在Rt△ADC中，DP＝2，DQ＝2，∴PQ＝2.
14．半径为R的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为________．
答案：R
解析：所求距离即球心与球的外切正方体的顶点的距离，也即正方体对角线长度的一半．由于球的半径为R，故其外切正方体的棱长为2R，其对角线长为2 R，球心到正方体顶点的距离为R.
15、如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E、F分别是棱AB、AD的中点．若P为棱CC1上一点，且平面A1EF⊥平面EFP，则CP＝________.
答案：
解析：

连接AC交EF于O点，连接A1O，OP，显然A1E＝A1F，PE＝PF，∴A1O⊥EF，PO⊥EF，则∠A1OP为二面角A1－EF－P的平面角，若平面A1EF⊥平面EFP，则∠A1OP＝90°，设CP＝x，C1P＝1－x.在Rt△A1OP中，A1O＝＝，PO＝＝，A1P＝＝，∴＋＋x2＝2＋(1－x)2，∴x＝.
16．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上述命题中，真命题的序号________(写出所有真命题的序号)．
答案：(1)(2)
解析：本题考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理．真命题的序号是(1)(2)．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为DD1的中点．
(1)求截面△AEC的面积；
(2)截面△AEC将正方体分成两部分，求其体积之比．
解：(1)

如图所示，△AEC中，
AE＝EC＝
＝＝，
AC＝＝2 ，
取AC中点O，连结OE，则OE⊥AC.
OE＝＝＝，
∴S△AEC＝AC·OE＝×2 ×＝.
(2)VE－ACD＝S△ACD·ED＝··2·2·1＝.
而V正方体＝23＝8，∴V剩＝V正方体－VE－ACD＝8－＝.
∴V剩：VE－ACD＝：＝11：1.

18．(12分)如图，在侧棱垂直于底面ABC的三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F是B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)A1F∥平面ADE.
证明：(1)因为CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
19．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，如图．

(1)求证：MN∥面BB1C1C；
(2)求MN的长．
解　(1)证明：作NP⊥AB于P，连接MP.NP∥BC，

∴＝＝，
∴MP∥AA1∥BB1，
∴面MPN∥面BB1C1C.
MN⊂面MPN，
∴MN∥面BB1C1C.
(2)＝＝＝，NP＝a，
同理MP＝a.
又MP∥BB1，
∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.
在Rt△MPN中MN＝＝a.
20．(12分)一圆台上底半径为5 cm，下底半径为10 cm，母线AB长为20 cm，其中A在上底面上，B在下底面上．
(1)求该圆台的体积；
(2)从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台的侧面一周转到B点，求这条绳子的最短长度．

解：(1)作出圆台的轴截面，为一等腰梯形，过点A作下底的垂线AE，垂足为E.
在Rt△AEB中，AE＝＝5.
故圆台的体积为V＝·π·5 (52＋5×10＋102)
＝π.
(2)画出圆台所在圆锥的侧面展开图如下：
沿母线AB展开，在扇形BOB1中，设OA＝l，圆心角为θ，则lθ＝10π，(l＋20)θ＝20π.
代换后知，θ＝，l＝20，连接MB1，即为这条绳子最短长度．
在Rt△MOB1中，MB1＝＝50，所以这条绳子的最短长度为50 cm.
21．(12分)如图所示，已知四棱锥V—ABCD中，ABCD为正方形，VA⊥平面ABCD，VA＝AB＝1，E是VC中点，截面ADEF交VB于点F.
(1)求二面角V—AD—F的大小；
(2)求V—ADEF的体积．

解：(1)∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，而BC⊂平面VBC，
∴AD∥平面VBC.
∵AD⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面VBC＝EF.
∴EF∥AD，
∵E是VC的中点．
∴F是VB的中点．
∵VA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD.
∴VA⊥AD，又∵AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABV，而AF⊂平面VAB.
∴AD⊥AF，
∴∠VAF为二面角V—AD—F的平面角．
∵VA＝AB＝1，VA⊥AB，
∴△VAB是等腰直角三角形．
∵F是VB的中点．
∴∠VAF＝45°.
即二面角V—AD—F的大小为45°.
(2)由(1)知，EF綊BC＝.
AD∥EF，AD⊥AF.
∴四边形EFAD是直角梯形．
在等腰直角三角形VAB中，AF＝.
∴S四边形EFAD＝(EF＋AD)·AF
＝×
＝.
又∵AF⊥VB，AD⊥面VAB，VB⊂面VAB.
∴AD⊥VB.∴VB⊥面ADEF于点F.
∴VF为四棱锥V—ADEF的高．
V＝SADEF·VF＝××＝.
22．(12分)在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE：EB＝CF：FA＝CP：PB＝1：2(如图甲)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1—EF—B成直二面角，连接A1B，A1P(如图乙)．

(1)求证：A1E⊥平面BEP；
(2)求二面角A1—BP—E的大小．
解：不妨设正三角形的边长为3，则
(1)证明：在题图甲中，取BE的中点D，连接DF，
∵AE：EB＝CF：FA＝1：2，
∴AF＝AD＝2，而∠A＝60°.
∴△ADF为正三角形．
又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.
在题图乙中，A1E⊥EF，BE⊥EF.
∴∠A1EB为二面角A1—EF—B的一个平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，
∴A1E⊥BE.
又BE∩EF＝E，
∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP.
(2)在题图乙中，过E点作BP的垂线，并交BP于G点，连接A1G.
由(1)知A1E⊥平面BEP，
∴∠A1GE即为二面角A1—BP—E的平面角，
又A1E＝1，GE＝，
∴tan∠A1GE＝.
∴∠A1GE＝30°，即二面角A1—BP—E的大小为30°.