江苏省常州市西夏墅中学高一数学《2.4向量的数量积(2)》学案.doc

江苏省常州市西夏墅中学高一数学《2.4向量的数量积（2）》学案
教学目标：
1．掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
2．掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题；
3．通过师生互动，学生自主探究、交流与合作，培养学生探求新知及合作能力．

教学重点：
运算律的理解和平面向量数量积的应用．
教学难点：
平面向量的数量积运算律的理解．

教学方法：
引导发现、合作探究．

教学过程：
一、复习导引
复习提问：
1．（1）两个非零向量夹角的概念；
（2）平面向量数量积的定义；[
（3）“投影”的概念；
（4）向量数量积的几何意义；
（5）两个向量的数量积的性质．
2．判断下列各题正确与否：
①若，则对任一向量，有； ( √ )
②若，则对任一非零向量，有； ( × )
③若，，则； ( ×
④若，则至少有一个为零向量； ( × )
⑤若，则当且仅当时成立； ( × )
⑥对任意向量，有． ( √ )
二、学生活动
问题1　已知实数，，()，则.=·=是否成立？
问题2　实数的运算律有ab=ba；a(b+c)=ab+ac；(ab)c=a(bc)．在向量的数量积中是否成立？（举例说明）
三、建构数学
1．数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）．
（1）交换律：；
证明：设夹角为，则，，∴．
（2）数乘结合律：
证明：若，此式显然成立．
若，， ，
，∴
若，，
，
．
∴
q
q1
q2

A
B
O
A1
B1
C

综上可知成立．
（3）分配律：．
　　在平面内取一点，作=, =，=，
∵（即）在方向上的投影等于在
方向上的投影和，即：
∴，∴
即：．
说明：（1）一般地，()·≠·（·）
（2）·＝·，≠＝
（3）有如下常用性质：＝||,(＋)＝＋２＋
（＋）·（＋）＝·＋·＋·＋·,
2．向量的数量积不满足结合律．
分析：若有（）＝（·），设、夹角为，、夹角为β，则()＝||·||cosα·，·(·)＝·||||cosβ，∴若＝，α＝β，则||＝||，进而有：（）＝·(•)，这是一种特殊情形，一般情况下不成立．举反例如下：
已知||＝１，||＝１，||＝，与夹角是60°，与夹角是45°，
()·＝（||·||cos60°）·＝，
·(·)＝（||·||cos45°）＝
而≠，故（）·≠·（·）
四、数学运用
1．例题．
例1　已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．
例2　求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和．
变式1　用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．
变式2　如图，是的三条高，求证：相交于一点．

A
B
C
D
E
F
H

变式3　用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点．
例3 四边形中，=，=，=，＝，且·＝·＝·＝·，试问四边形是什么图形？
例4 设与是夹角为60°，且||||，是否存在满足条件的，，使|+|=2|-|？请说明理由．
2．巩固．
（1）已知||=1,||=，（1）-与垂直，则的夹角是______； （2）若，； （3）若、的夹角为，则|+|；
（2）已知||=2,||=1，与之间的夹角为，那么向量-4的模为_____；|-4|·|-|
（3）设、是两个单位向量，其夹角为，求向量=2+与=2-3的夹角；
（4）对于两个非零向量，，当的模取最小值时，①求的值；
②求证：与垂直．
五、回顾反思
通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的重要性质解决相关问题．

- 5 -
用心 爱心 专心