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第4讲　功能关系、能量转化和守恒定律

功能关系　Ⅱ(考纲要求)
1.功能关系
(1)能的概念：一个物体能对外做功，这个物体就具有能量．
(2)功能关系
①功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化．
②做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必通过做功来实现．
(3)功与对应能量的变化关系
功
能量的变化
合外力做正功
动能增加
重力做正功
重力势能减少
弹簧弹力做正功
弹性势能减少
电场力做正功
电势能减少
分子力做正功
分子势能减少
其他力(除重力、弹力)做正功
机械能增加
2.能量守恒定律
(1)内容：能量既不会消灭，也不会创生．它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．
(2)表达式：ΔE减＝ΔE增．

常见的功能关系

1．已知货物的质量为m，在某段时间内起重机将货物以a的加速度加速升高h，则在这段时间内，下列叙述正确的是(重力加速度为g)(　　)．
A．货物的动能一定增加mah－mgh
B．货物的机械能一定增加mah
C．货物的重力势能一定增加mah
D．货物的机械能一定增加mah＋mgh
答案　D

图4－4－1
2．一个盛水袋，某人从侧面缓慢推装液体的袋壁使它变形至如图4－4－1所示位置，则此过程中袋和液体的重心将(　　)．
A．逐渐升高 B．逐渐降低
C．先降低再升高 D．始终不变
解析　人对液体做正功，液体的机械能增加，液体缓慢移动可以认为动能不变，故重力势能增加，重心升高，A正确．
答案　A
3．(2011·广州模拟)下列说法正确的是(　　)．
A．随着科技的发展，第一类永动机是可以制成的
B．太阳照射到地球上的光能转化成了其他形式的能量，但照射到宇宙空间的能量都消失了
C．“既要马儿跑，又让马儿不吃草”违背了能量转化和守恒定律，因而是不可能的
D．有种“全自动”手表，不用上发条，也不用任何形式的电源，却能一直走动，说明能量可以凭空产生
答案　C

图4－4－2
4．如图4－4－2所示，美国空军X­37B无人航天飞机于2010年4月首飞，在X­37B由较低轨道飞到较高轨道的过程中(　　)．
A．X­37B中燃料的化学能转化为X­37B的机械能
B．X­37B的机械能要减少
C．自然界中的总能量要变大
D．如果X­37B在较高轨道绕地球做圆周运动，则在此轨道上其机械能增加
解析　在X­37B由较低轨道飞到较高轨道的过程中，必须启动助推器，对X­37B做正功，X­37B的机械能增大，A对，B错．根据能量守恒定律，C错．X­37B在确定轨道上绕地球做圆周运动，动能和重力势能都没有发生变化，所以机械能不变，D错．故本题正确选项为A.
答案　A

图4－4－3
5．如图4－4－3所示，一个小物体在足够长的斜面上以一定初速度释放，斜面各处粗糙程度相同，初速度方向沿斜面向上，则物体在斜面上运动的过程中，下列说法错误的是(　　)．
A．动能一定是先减小后增大
B．机械能一直减小
C．如果某段时间内摩擦力做功与物体动能的改变量相同，则此后物体动能将不断增大
D．如果某段时间内摩擦力做功为W，再经过相同的时间，两段时间内摩擦力做功可能相等
解析　物体减速到零时有可能静止在斜面上，其动能一直减小，A错误；由于摩擦力做负功，物体的机械能一直减小，B正确；C中说明重力做功为零，物体能反向沿斜面向下加速运动，C正确；由于物体可能反向沿斜面向下加速运动，在相等的两段时间内路程可能相同，则摩擦力做的功相同，D正确．
答案　A
考点一　利用动能定理分析功和能量变化的问题
(1)合外力(包括重力)做功等于物体动能的改变量．
(2)与势能有关的力(重力、弹簧弹力、电场力)做功等于势能的改变量．
【典例1】
如图4－4－4所示，

图4－4－4
卷扬机的绳索通过定滑轮用力F拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动．在移动过程中，下列说法正确的是(　　)．
A．F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
B．F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C．木箱克服重力做的功等于木箱增加的重力势能
D．F对木箱做的功等于木箱增加的机械能
解析　木箱加速上滑的过程中，拉力F做正功，重力和摩擦力做负功．支持力不做功，由动能定理得：
WF－WG－Wf＝mv2－0.
即WF＝WG＋Wf＋mv2，A、B错误；
又因克服重力做功WG等于物体增加的重力势能，
所以WF＝ΔEp＋ΔEk＋Wf，故D错误，
又由重力做功与重力势能变化的关系知C正确．
答案　C
【变式1】
如图4－4－5所示，

图4－4－5
在抗洪救灾中，一架直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法错误的是(　　)．
A．力F所做功减去克服空气阻力所做的功等于重力势能的增量
B．木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量
C．力F、重力、空气阻力三者合力所做的功等于木箱动能的增量
D．力F和空气阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量

解析　对木箱受力分析如图所示，
则由动能定理：
WF－mgh－Wf＝ΔEk故C对．
由上式得：WF－Wf＝ΔEk＋mgh，
故A错D对．由重力做功与重力势能变化关系知B对，选A项．
答案　A
考点二　摩擦生热问题
摩擦力做功的特点
　 　类　别

比　较　 　
静摩擦力
滑动摩擦力
不同点　　
能量的转化方面　
在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体(静摩擦力起着传递机械能的作用)，而没有机械能转化为其他形式的能量
(1) 相互摩擦的物体通过滑动摩擦力做功，将部分机械能从一个物体转移到另一个物体
(2)部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量
一对摩擦力的总功方面
一对静摩擦力所做功的代数总和等于零
一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功，等于摩擦力与两个物体相对路程的乘积，即Wf＝－f·s相对，表示物体克服摩擦力做功，系统损失的机械能转化成内能
相同点
正功、负功、不做功方面
两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功

【典例2】
如图4－4－6所示，

图4－4－6
木块A放在木块B的左端，用恒力F将A拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做功为W1，生热为Q1；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，仍将A拉到B右端，这次F做功为W2，生热为Q2；则应有(　　)．
A．W1<W2，Q1＝Q2　　　　B．W1＝W2，Q1＝Q2
C．W1<W2，Q1<Q2 D．W1＝W2，Q1<Q2
解析　拉力F做的功直接由公式W＝Fscos θ求得，其中s是物体对地的位移，所以W1<W2，滑动摩擦力做功过程中产生的内能等于系统克服摩擦力做的功，即ΔE＝Q＝fs相对，其中s相对表示物体之间的相对位移，在这里是B的长度，所以Q1＝Q2.
答案　A
【变式2】
电机带动水平传送带以速度v匀速转

图4－4－7
动，一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图4－4－7所示，当小木块与传送带相对静止时，求：
(1)小木块的位移；
(2)传送带转过的路程；
(3)小木块获得的动能；
(4)摩擦过程产生的摩擦热；
(5)电机带动传送带匀速转动输出的总能量．
解析　木块刚放上，速度为零，必然受到传送带的滑动摩擦力作用，做匀加速直线运动，达到与传送带相同速度后不再相对滑动，整个过程中木块获得一定的动能，系统要产生摩擦热．
对小木块，相对滑动时，
由ma＝μmg得加速度a＝μg，由v＝at得，
达到相对静止所用时间t＝.
(1)小木块的位移s1＝at2＝.
(2)传送带始终匀速运动，
路程s2＝vt＝.
(3)小木块获得的动能
Ek＝mv2.
这一问也可用动能定理解：
μmgs1＝Ek，故
Ek＝mv2.
(4)产生的摩擦热
Q＝μmg(s2－s1)＝mv2.
注意，这里凑巧Q＝Ek，但不是所有的问题都这样．
(5)由能的转化与守恒得，电机输出的总能量转化为小木块的动能与摩擦热，所以E总＝Ek＋Q＝mv2.
答案　(1)　 (2)　 (3)mv2　 (4)mv2　 (5)mv2

利用Q＝fs相对进行热量Q的计算时，关键是对相对路程s相对的理解．例如：如果两物体同向运动，s相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，s相对为两物体对地位移大小之和；如果一个物体相对另一个物体往复运动，则s相对为两物体相对滑行路径的总长度.
　　　1.力学规律优选法

1.选取方法
(1)牛顿第二定律揭示了力的瞬时效应，在研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动的关系时优选运动学公式和牛顿第二定律．
(2)动能定理反映了力对空间的累积效应，对于不涉及物体运动过程中的加速度和时间的问题，优选动能定理．
(3)如果物体只有重力和弹簧弹力做功而又不涉及物体运动过程中的加速度和时间，此类问题优选用机械能守恒定律求解．
(4)在涉及相对滑动问题时则优先考虑能量守恒定律，即系统的动能转化为系统的内能．
(5)在涉及摩擦力、电场力、磁场力(安培力)做功时优先考虑能量守恒定律．
2.传送带模型中的能量问题
传送带模型是高中物理中比较常见的模型，一般设问的角度有两个：
①动力学角度，如求物体在传送带上运动的时间、物体在传送带上能达到的速度、物体相对传送带滑过的位移，依据牛顿第二定律结合运动学规律求解(第三章中已做介绍)．
②能量的角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解．

【典例】 10只相同的轮子并排水平排列，圆心分别为O1、O2、O3…、O10，已知O1O10＝3.6 m，水平转轴通过圆心，轮子均绕轴以r/s的转速顺时针匀速转动．现将一根长0.8 m、质量为2.0 kg的匀质木板平放在这些轮子的左端，木板左端恰好与O1竖直对齐(如图4－4－8所示)，木板与轮缘间的动摩擦因数为0.16，不计轴与轮间的摩擦，g取10 m/s2，试求：

图4－4－8
(1)木板在轮子上水平移动的总时间；
(2)轮子因传送木板所消耗的机械能．
教你审题

关键点：轮子匀速转动，木板在水平向右的摩擦力的作用下向右加速运动传送带模型(轮子相当于传送带)同学们自己试一试．
解析　(1)轮子转动的线速度：v＝2πnr＝2π×0.2 m/s＝1.6 m/s.
板运动的加速度：a＝μg＝0.16×10 m/s2＝1.6 m/s2.
所以板在轮子上做匀加速运动的时间：t1＝＝s＝1 s．
板在做匀加速运动中所发生的位移：s1＝at12＝×1.6×12 m＝0.8 m．
板在做匀速运动的全过程中其重心平动发生的位移为：
s2＝3.6 m－0.8 m－0.4 m＝2.4 m．
因此，板运动的总时间为：t＝t1＋＝1 s＋ s＝2.5 s．
(2)由功能关系知：轮子在传送木板的过程中所消耗的机械能一部分转化成了木板的动能，另一部分因克服摩擦力做功转化成了内能，即：ΔE＝mv2＋Ffs相对．
而克服摩擦力做功为：Wf＝fs相对＝μmg.所以代入数据可得ΔE＝mv2＋fs相对＝5.12 J.
答案　(1)2.5 s　(2)5.12 J

图4－4－9
1．(2009·广东理科基础，8)游乐场中的一种滑梯如图4－4－9所示．小朋友从轨道顶端由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了一段距离后停下来，则(　　)．
A．下滑过程中支持力对小朋友做功
B．下滑过程中小朋友的重力势能增加
C．整个运动过程中小朋友的机械能守恒
D．在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功
解析　下滑过程中支持力的方向总与速度方向垂直，所以支持力不做功，A错误；越往下滑动重力势能越小，B错误；摩擦力的方向与速度方向相反，所以摩擦力做负功，机械能减少，D正确，C错误．
答案　D
2．(2010·山东理综，22改编)如图4－4－10所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中(　　)．

图4－4－10
A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳重力势能共减少了mgl
C．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功
D．软绳重力势能的减少等于其动能的增加与克服摩擦力所做功之和
解析　物块向下运动过程中，绳子拉力对物块做负功，物块的机械能减少，A项错误；软绳重心下降的高度为－ sin θ＝
l，软绳的重力势能减少mgl，B项正确；由能的转化和守恒知，物块和软绳重力势能的减少等于物块和软绳增加的动能和软绳克服摩擦力所做的功，C项错误；对于软绳，由能的转化和守恒知，绳子拉力对软绳所做的功和软绳重力势能的减少之和等于软绳动能的增加与克服摩擦力所做功之和，D项错误．
答案　B

图4－4－11
3．(2011·上海单科，15)如图4－4－11所示，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球．一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为(　　)．
A．mgLω　　　　　　　　B.mgLω
C.mgLω D.mgLω
解析　由能的转化及守恒可知：拉力的功率等于克服重力的功率．PG＝mgvy＝mgv cos 60°＝mgωL，故选C.
答案　C

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