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第11章 动量矩定理 ·143·
第11章 动量矩定理
一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)
1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。 (×)
2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。(√)
3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。 (√)
4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。 (√)
5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。 (×)
6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。 (×)
7. 质点系对某点的动量矩定理中的点“O”是固定点或质点系的质心。
(√)
8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB，对转轴的转动惯量为 ，式中为AB杆的质量。 (×)
9. 当选质点系速度瞬心P为矩心时，动量矩定理一定有 的形式，而不需附加任何条件。 (×)
10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。 (×)

图11.23
二、填空题
1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m，绕z轴转动的回旋半径为，则刚体对z轴的转动惯量为。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x轴之矩的代数和等于零。
6. 质点质量为，在平面内运动， 如图11.24所示。其运动方程为，，其中 、、为常数。则质点对原点O的动量矩为。
7. 如图11.25所示，在铅垂平面内，均质杆OA可绕点O自由转动，均质圆盘可绕点A自由转动，杆OA由水平位置无初速释放，已知杆长为，质量为；圆盘半径为，质量为。则当杆转动的角速度为时，杆OA对点O的动量矩；圆盘对点O的动量矩；圆盘对点A的动量矩。

图11.24 图11.25
8. 均质T形杆，OA = BA = AC = l，总质量为m，绕O轴转动的角速度为，如图11.26所示。则它对O轴的动量矩。
9. 半径为R，质量为m的均质圆盘,在其上挖去一个半径为r = R/2的圆孔，如图11.27所示。则圆盘对圆心O的转动惯量。

图11.26 图11.27
10. 半径同为R、重量同为G的两个均质定滑轮，一个轮上通过绳索悬一重量为的重物，另一轮上用一等于的力拉绳索，如图11.28所示。则图11.28(a)轮的角加速度　；图11.28(b)轮的角加速度。

图11.28
三、选择题
1. 均质杆AB，质量为m，两端用张紧的绳子系住，绕轴O转动，如图11.29所示。则杆AB对O轴的动量矩为　A　。
(A) (B) (C) (D)
2. 均质圆环绕z轴转动，在环中的A点处放一小球，如图11.30所示。在微扰动下，小球离开A点运动。不计摩擦力，则此系统运动过程中　B　。
(A) 不变，系统对z轴的动量矩守恒
(B) 改变，系统对z轴的动量矩守恒
(C) 不变，系统对z轴的动量矩不守恒
(D) 改变，系统对z轴的动量矩不守恒
3. 跨过滑轮的轮绳，一端系一重物，另一端有一与重物重量相等的猴子，从静止开始以速度向上爬，如图11.31所示。若不计绳子和滑轮的质量及摩擦，则重物的速度　B　。
(A) 等于，方向向下 (B) 等于，方向向上
(C) 不等于 (D) 重物不动

图11.29 图11.30
4. 在图11.32中，摆杆OA重量为G，对O轴转动惯量为，弹簧的刚性系数为k，杆在铅垂位置时弹簧无变形。则杆微摆动微分方程为　D　(设)。
(A) (B)
(C) (D)

图11.31 图11.32
5. 在图11.33中，一半径为R。质量为m的圆轮，在下列情况下沿水平面作纯滚动：(1) 轮上作用一顺时针的力偶矩为M的力偶；(2) 轮心作用一大小等于的水平向右的力F。若不计滚动摩擦，二种情况下　C　。
(A) 轮心加速度相等，滑动摩擦力大小相等
(B) 轮心加速度不相等，滑动摩擦力大小相等
(C) 轮心加速度相等，滑动摩擦力大小不相等
(D) 轮心加速度不相等，滑动摩擦力大小不相等
6. 如图11.34所示组合体由均质细长杆和均质圆盘组成，均质细长杆质量为M1，长为L，均质圆盘质量为M2，半径为R，则刚体对O轴的转动惯量为　A　。
(A)
(B)
(C)
(D)

图11.33 图11.34
四、 计算题
11-1各均质物体的质量均为，物体的尺寸及绕固定轴转动角速度方向如图11.35所示。试求各物体对通过点并与图面垂直的轴的动量矩。

图11.35
解：（a）杆对通过点并与图面垂直的轴的动量矩为

（b）圆盘对通过点并与图面垂直的轴的动量矩为

（c）圆盘对通过点并与图面垂直的轴的动量矩为

11-2 如图11.36所示，鼓轮的质量，半径，对转轴 O 的转动惯量。现在鼓轮上作用力偶矩来提升质量的物体 A。试求物体A上升的加速度，绳索的拉力以及轴承O的反力。绳索的质量和轴承的摩擦都忽略不计。
解：（1）选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点系动量矩定理，有

解得鼓轮转动的角加速度为

物体A上升的加速度为

（2）要求绳索的拉力，可选物体 A为研究对象，受力分析如图所示。应用质点运动微分方程，有

解得绳索的拉力为

（3）要求轴承O的反力，可选鼓轮为研究对象，受力分析如图所示。应用质心运动定理，有
，
解得 ，

图11.36 图11.37
11-3 半径为，质量为的均质圆盘与长为、质量为的均质杆铰接，如图11.37所示。杆以角速度绕轴O转动，圆盘以相对角速度绕点A转动，(1)；(2)，试求系统对转轴O的动量矩。
解：系统对转轴O的动量矩是由杆对转轴O的动量矩和圆盘对转轴O的动量矩两部分组成。杆对转轴O的动量矩为

（1）当时，圆盘转动的绝对角速度为

圆盘对转轴O的动量矩为

故系统对转轴O的动量矩为

（2）当时，圆盘转动的绝对角速度为

圆盘对转轴O的动量矩为

故系统对转轴O的动量矩为

11-4 两小球C、D质量均为，用长为的均质杆连接，杆的质量为，杆的中点固定在轴AB上，CD与轴AB的夹角为，如图11.38所示。轴以角速度转动，试求系统对转轴AB的动量矩。
解：杆CD对转轴AB的动量矩可表示为

球C、D对转轴AB的动量矩可表示为

系统对转轴AB的动量矩为

11-5 小球M系于线MOA的一端，此线穿过一铅垂管道，如图11.39所示。小球M绕轴沿半径的水平运动，转速为。今将线OA慢慢拉下，则小球M在半径的水平圆上运动，试求该瞬时小球的转速。
解：选小球为研究对象，小球受有重力和绳子拉力作用，受力分析如图所示。由于重力和绳子拉力对轴的矩均等于零，即，可知小球对轴的动量矩保持守恒。即有

而，，代入上式，有

故，即小球M在半径的水平圆上运动瞬时小球的转速为

图11.38 图11.39
11-6 一直角曲架ADB能绕其铅垂边AD旋转，如图11.40所示。在水平边上有一质量为的物体C，开始时系统以角速度绕轴AD转动，物体C距D点为，设曲架对AD轴的转动惯量为，求曲架转动的角速度与距离之间的关系。
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。从受力图可以看出，系统所受的全部外力对轴的矩等于零。系统对轴的动量矩也保持不变，即

解得曲架转动的角速度与距离之间的关系为

11-7 电动机制动用的闸轮重为W(可视为均质圆环)，以角速度绕轴转动，如图11.41所示。已知闸块与闸轮间的滑动摩擦系数为f，闸轮的半径为r，它对O轴的转动惯量为，制动时间为，设轴承中的摩擦不计。求闸块给闸轮的正压力。
解：选闸轮为研究对象，受力分析如图（b）所示。我们可以应用动量矩定理来计算闸块给闸轮的正压力。先计算制动后闸轮的角加速度，由运动学可知

可知制动后闸轮的角加速度为

式中负号表明真实的角加速度的转向与图中假设的转向相反，即闸轮作减速转动。然后应用动量矩定理，有

而，代入上式，可解得闸块给闸轮的正压力为

图11.40 图11.41

11-8 如图11.42所示两轮的半径为、。质量分别为、。两轮用胶带连接，各绕两平行的固定轴转动，若在第一轮上作用主动力矩，若在第二轮上作用阻力矩。视圆轮为均质圆盘，胶带与轮间无滑动，胶带质量不计，试求第一轮的角加速度。

图11.42

解：分别取两轮为研究对象，受力分析及运动分析如图(b)所示。对两轮分别应用动量矩定理，有
轮1：
轮2：
由于胶带与轮间无滑动，故有

联立求解以上三式，并将，，，代入，可得轮1的角加速度为

11-9 如图11.43所示绞车，提升一重量为的重物，在其主动轴上作用一不变的力矩。已知主动轴和从动轴的转动惯量分别为、，传动比，吊索缠绕在从动轮上，从动轮半径为，轴承的摩擦力不计。试求重物的加速度。

图11.43
解：分别选主动轴、从动轮和重物组成的系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。对两轮分别应用动量矩定理，有
主动轮：
主动轮：
由运动学知

其中：，，联立求解以上三式，有

重物的加速度为

11-10 如图11.44所示均质杆长为，重为，端固结一重为的小球(球的半径不计)，杆的与铅垂悬挂的弹簧相连以使杆保持水平位置。已知弹簧的刚度系数为，给小球以微小的初位移，然后自由释放，试求杆的运动规律。
解：选均质杆和小球组成的系统为研究对象，受力分析如图所示。由刚体定轴转动微分方程，有

而，这里为弹性在水平位置时的伸长量。由题意知道：杆处于水平位置时系统处于平衡状态，由平衡条件可知

很容易求出

由于较小，可令，，故刚体定轴转动的微分方程可写为

上微分方程的通解可写为

由初始条件，，有
，
杆的运动规律为

11-11 运送矿石的卷扬机鼓轮半径为R，重为W，在铅直平面内绕水平轴O转动，如图11.45所示。已知对O轴的转动惯量为，车与矿石的总重量为W1，作用于鼓轮上的力矩为M，轨道的倾角为。不计绳重及各处摩擦。求小车上升的加速度及绳子的拉力。

图11.44 图11.45
解：分别选整体和小车为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。对整体应用动量矩定理，有

解得卷扬机鼓轮转动的角加速度为

小车上升的加速度为

由小车的运动微分方程，有

解得绳子的拉力为

O
r1

r2

图11.46
11-12 质量分别为的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别缠绕在半径为并装在同一轴的两鼓轮上，如图11.46所示。已知两鼓轮对O轴的转动惯量为，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用动量矩定理，有

解得鼓轮的角加速度为

11-13 重物A质量为m1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D，并绕在鼓轮B上，如图11.47所示。由于重物下降带动了轮C，使它沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为r，轮C的半径为R，两者固连在一起，总质量为m2，对于其水平轴O的回转半径为。求重物A下降的加速度以及轮C与地面接触点处的静摩擦力。

图11.47
解：分别选轮子和重物A为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。轮子作平面运动，应用刚体平面运动微分方程，有

重物A的运动微分方程为

其中：，，。联立求解，可得重物A下降的加速度为

轮C与地面接触点处的静摩擦力为

11-14 均质圆柱体A的质量为m，在外圆上绕以细绳，绳的一端B固定不动，如图11.48所示。当BC铅垂时圆柱下降，其初速度为零。求当圆柱体的轴心降落了高度h时轴心的速度和绳子的张力。
解：选均质圆柱体A为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。圆柱体A作平面运动，应用刚体平面运动微分方程，有

由运动学关系，有

联立求解，可得，。
圆柱体的轴心降落了高度h时轴心的速度为

11-15 均质实心圆柱体A和薄铁环B的质量均为m，半径均为r，两者用杆AB铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为，如图11.49所示。如不计杆的质量，求杆AB的加速度和杆的内力。

图11.48 图11.49
解：分别以实心圆柱体A和薄铁环B为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。由于圆柱体A和薄铁环B半径相等，故杆AB作平面运动。可知圆柱体A中心加速度和薄铁环B中心加速度大小和方向相同，即。它们转动的角加速度也相等，即。分别列圆柱体A和薄铁环B的动力学方程，有
圆柱体A：

圆柱体B：

其中：由运动学关系，可知，，，联立求解，可得AB的加速度和杆的内力分别为

负号表示杆受压力作用。
11-16 在图11.50中，均质圆柱重量为，半径为R ，放在倾角为 60°的斜面上，一绳绕在圆柱体上，其一端固定在A点，此绳与A点相连部分与斜面平行。若圆柱体与斜面间滑动摩擦系数为。试求质心C沿斜面落下的加速度。
图11.50
解：选均质圆柱为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。均质圆柱作平面运动，应用平面运动微分方程，有

其中：，。联立求解可得质心C沿斜面落下的加速度为

11-17 如图11.51所示板的质量为，受水平力作用，沿水平面运动，板与平面间的动摩擦系数为。在板上放一质量为的均质实心圆柱体，此圆柱体在板上只滚不滑动，试求板的加速度。
解：分别选板和圆柱体为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。板作平动，由质心运动定理，有

圆柱体作平面运动，由刚体平面运动微分方程，有

由运动学关系，可选点分动点，分析点加速度，由作点的加速度合成图如图所示。由图可知

其中：，，，，联立求解，可得板的加速度为

图11.51
11-18 如图11.52所示结构中，重物A、B的质量分别为m1和m2，B物体与水平面间摩擦系数为f，鼓轮O的质量为M，半径为R和r，对O轴的回转半径分别为，求A下降的加速度以及绳子两端的拉力。

图11.52
解：分别选重物A、B和鼓轮O为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。分别列动力学方程，有
重物A：
重物B：

其中：。
鼓轮O：
由运动学关系，可知：，。联立求解可得A下降的加速度为

绳子两端的拉力为

11-19如图11.53所示均质杆AB长为L，重为，杆上的D点靠在光滑支撑上，杆与铅垂线的夹角为，由静止将杆释放。求此时杆对支撑的压力以及杆重心C的加速度(设CD = a)。

图11.53
解：(1) 选杆AB为研究对象，受力如图所示。列杆的平面运动微分方程

(2) 以为基点，分析C点的加速度。由作C点的加速度合成图。列投影方程

其中：。联立求解，可得
，，
11-20如图11.54所示，曲柄OA以匀角速度绕O轴沿顺时针转向在铅垂面内转动。求当OA处于水平位置时，细长杆AB端部B轮所受的反力。设杆AB的质量为，长为1m，各处摩擦力及OA杆质量不计。

图11.54
解：（1）选细长杆AB为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。列杆AB的刚体平面运动微分方程，有

（2）由和方向可知P点为杆AB的速度瞬心，杆AB转动的角速度为

以A为基点分析B点的加速度，由作B点的加速度合成图。列PB方向的投影方程，有

其中：，解得

故杆AB的角加速度为

再以A为基点分析C点的加速度，由作C点的加速度合成图。列投影方程，有

其中：，，，代入上式可得

代入杆AB的刚体平面运动微分方程，可解得细长杆AB端部B轮所受的反力为

11-21 如图11.55所示，设均质杆O1A和O2B以及DAB，各杆长均为L，重均为P，在A，B处以铰链连接，O1，O2处于同一水平线上，且，如图11.55所示，初始时O1A与铅垂线的夹角为，由静止释放，试求此瞬时铰链O1、O2的约束反力。
图11.55
解：分别选杆O1A和O2B以及DAB为研究对象，受力及运动分析如图所示。分别列三杆的动力学方程：
杆O1A：

杆O2B：

杆DAB：

其中：，，联立求解，可得铰链O1、O2的约束反力为
，，
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