导数阶段检测.doc

导数阶段检测
一、填空题
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝____________。
2．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为___________。
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为___________。
4．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于___________。
5．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是___________。
6．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
7．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．
8．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．
9．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：
①f(0)f(1)>0；　 ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0； 　④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是________．
10．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝ex＋sin x，则f(1)、f(2)、f(3) 的大小关系是__________________．
11．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
12．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________．
13．函数f(x)＝的单调递增区间是______________．
14．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a＞0)．若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．

二、解答题
15．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．

16．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)在区间(t>0)上的最小值．

17．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．

18．已知函数f(x)＝ax2－ex(a∈R，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)解关于x的不等式：f(x)>f′(x)；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．

19．已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中 a<0.
(1)当 a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间 [1,4]上的最小值为8，求 a的值．

20.已知f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)．
(1)假设m＝－2，求f(x)的极大值与极小值；
(2)是否存在实数m，使f(x)在上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

参考答案
一、填空题：
1、－ 2.、 3、－ 4、1 5、③
6、－ 7、4 8、(－1,1) 9、②③
10、f(2)＞f(1)＞f(3) 11、(－1,11) 12、单调递增
13、(k∈Z) 14、0＜a≤或a≥1
二、解答题：
15、解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.
x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值，
且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．

16、解：(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.
又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，
故切线的斜率为g′(1)＝4e.
所以切线方程为：y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x

f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增

①当t≥时，在区间上f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(t)＝tln t.
②当0<t<时，在区间上f(x)为减函数，在区间上f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f＝－.

17、解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝
当a＞0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；
当a＜0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)不是单调函数．
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1， 即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.
∴g(x)＝x3＋x2－2x， ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，
即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点．
由于g′(0)＝－2，∴
当g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1,2]恒成立，由于g′(0)＜0，
故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，
即m＜－5且m＜－9，即m＜－9； 由g′(3)＞0，即m＞－.
所以－＜m＜－9. 即实数m的取值范围是.

18、解：(1)f′(x)＝2ax－ex，
令f(x)－f′(x)＝ax(x－2)>0.
当a＝0时，无解；
当a>0时，解集为{x|x<0或x>2}；
当a<0时，解集为{x|0<x<2}．
(2)设g(x)＝f′(x)＝2ax－ex，则x1，x2是方程g(x)＝0的两个根． g′(x)＝2a－ex，
当a≤0时，g′(x)<0恒成立，g(x)单调递减， 方程g(x)＝0不可能有两个根；
当a>0时，由g′(x)＝0，得x＝ln 2a，
当x∈(－∞，ln 2a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(ln 2a，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
∴当g(x)max>0时，方程g(x)＝0才有两个根，
∴g(x)max＝g(ln 2a)＝2aln 2a－2a>0，得a>. 故实数a的取值范围是.

19、解：(1)当a＝－4时，f(x)＝(4x2－16x＋16) ，其中x>0.则f′(x)＝.
由f′(x)>0得0<x<或x>2. 故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．
(2)f′(x)＝，a<0， 由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.
当x∈时，f(x)单调递增；当x∈－，－时，f(x)单调递减；当x∈时，
f(x)单调递增． 易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.
①当－≤1时，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．
②当1<－≤4时，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意．
③当－>4时，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意． 综上有，a＝－10.

20、解：(1)当m＝－2时，
f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．
则f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex(3x2－4x－2)＝xex(x2＋x－6)＝(x＋3)x(x－2)ex，
∴当x∈(－∞，－3)或x∈(0,2)时，f′(x)<0;
当x∈(－3,0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0;
f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0，
∴f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增；
在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴当x＝－3或x＝2时，f(x)取得极小值；
当x＝0时，f(x)取得极大值，
∴f(x)极小值＝f(－3)＝－37e－3，f(x)极小值＝f(2)＝－2e2，
f(x)极大值＝f(0)＝2.
(2)f′(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)＋ex(3x2＋2mx－2)
＝xex.
∵f(x)在上单调递增，
∴当x∈时，f′(x)≥0.
又∵当x∈时，xex<0，
∴当x∈时，x2＋(m＋3)x＋2m－2≤0，
∴解得m≤4，
∴当m∈时，f(x)在上单调递增．

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