【全程复习方略】2013版高中数学-3.8正弦定理、余弦定理课时提能训练-苏教版.doc

【全程复习方略】2013版高中数学 3.8正弦定理、余弦定理课时提能训练 苏教版
(45分钟 100分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1.在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于______.
2.(2012·盐城模拟)在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=ab,则C的大小为______.
3.(2012·淮安模拟)在△ABC中，若，则△ABC的形状是______.
4.若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是______.
5.(2011·新课标全国卷)△ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为______.
6.(2012·连云港模拟)在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边， tanB=3,且a=4，则c等于______.
7.在△ABC中，A=,BC=3,则△ABC的周长为______.
8.(2012·扬州模拟)已知△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边分别为a,b,c，若c-b=1，则a的值是______.
二、解答题(每小题15分，共45分)
9.(2012·南通模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，若bcosC=(2a-c)cosB.
(1)求角B；
(2)设求a+c的值.
10.(2012·苏州模拟)如图，在△ABC中，已知AB=3，AC=6，BC=7，AD是∠BAC平分线.

(1)求证：DC=2BD；
(2)求的值.
11.在△ABC中，内角A,B,C所对的边的边长分别是a,b,c,已知c=2，
(1)若△ABC的面积等于，求a,b；
(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求△ABC的面积.
【探究创新】
(15分)已知函数f(x)=cos(2x+)+sin2x
(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期;
(2)设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若c=，cosB=，求b.

答案解析
1.【解析】由题意知，A=180°-45°-60°=75°，∴b最小，
由正弦定理知
∴
答案：
2.【解析】由(a+b+c)(a+b-c)=ab,
得(a+b)2-c2=ab,
即a2+b2-c2+ab=0，
∴a2+b2-c2=-ab,
由
答案：120°
3.【解析】设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理知a=2R·sinA，
b=2R·sinB，c=2R·sinC，
∴原等式可化为

∴tanA=tanB=1,
∴A=B=45°,∴C=90°,
故△ABC为等腰直角三角形.
答案：等腰直角三角形
【变式备选】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.
【解析】由已知得a2［sin(A-B)-sin(A+B)］
=b2［-sin(A+B)-sin(A-B)］,
∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.
由正弦定理，得
sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA.
∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,
∴sin2A=sin2B,由0＜A+B＜π，
得2A=2B或2A=π-2B,
即△ABC是等腰三角形或直角三角形.
4.【解题指南】可考虑先求中间角的大小后结合三角形内角和定理求解.
【解析】设三边长为5x,7x,8x，最大的角为C，最小的角为A.
由余弦定理得：
所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°.
答案：120°
5.【解析】设AB=c,BC=a,AC=b，由余弦定理
b2=a2+c2-2accosB，
得49=a2+25-2×5a×，
解得a=3，∴S△ABC=acsinB=×3×5×sin120°=.
答案：
【方法技巧】正、余弦定理求解面积问题
正弦定理、余弦定理是解三角形的重要工具，应用十分广泛，与三角形的边或角有关的很多问题都可用它们来解决．同时在求解三角形面积问题中的应用也很广泛.
①当给出三角形两个角的三角函数值及其中一个角所对的边长，求三角形的面积时，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技巧和运算能力.
②当以向量为背景考查正、余弦定理的应用时，关键是把三角形的面积用向量表示出来，用正余弦定理求出边长.
6.【解题指南】先求出角C，再由正弦定理求边c.
【解析】由cosA=,得sinA=,∴tanA=2,
又tanC=-tan(A+B)= =1,
又0<C<π,∴
由可得
答案：
7.【解题指南】BC=3，即a=3，
∴把周长a+b+c转化为利用B表示的式子再化简即可.
【解析】∵BC=3，即a=3,
∴
∴
得
=3cosB+sinB+3
=6sin(B+)+3.
答案：
8.【解析】由得
∵bcsinA=30,∴bc=156,
又
∴∴a=5.
答案：5
9.【解析】(1)由正弦定理得：
sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB
则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB
∴sin(B+C)=2sinAcosB,
又A+B+C=π，且sinA≠0,
∴cosB=.
∵0<B<π,∴B=.
(2)∵，
∴ca·cosB=2,
∵cosB=,∴ac=4,
由余弦定理：b2=a2+c2-2accosB得：
a2+c2=b2+2accosB=8,
∴(a+c)2=a2+c2+2ac=16,
∴a+c=4.
10.【解题指南】第(1)问，求证两线段的长度关系，联系已知条件AB=3，AC=6，恰好AC=2AB，运用正弦定理可得三角形两边之间的比例关系；第(2)问，关键是求两向量的夹角，运用余弦定理可求之.
【解析】(1)在△ABD中，
由正弦定理得
①,
在△ACD中，由正弦定理得
②,
又AD平分∠BAC，
所以∠BAD=∠CAD，sin∠BAD=sin∠CAD,
sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC,
由①②得
所以DC=2BD.
(2)因为DC=2BD，
所以
在△ABC中，
因为
=
所以

11.【解题指南】(1)利用余弦定理和面积公式求出a,b的值；(2)利用两角和、差的正弦公式和倍角公式得到角的关系，利用正余弦定理求出边长，再求面积.
【解析】(1)由余弦定理及已知条件得，
a2+b2-ab=4,
又因为△ABC的面积等于，
所以
得ab=4.
联立方程组
解得a=2，b=2．
(2)由题意得
sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,
即sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0时，

当cosA≠0时，得sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a，
联立方程组
解得
所以△ABC的面积
【探究创新】
【解析】(1)∵f(x)=cos(2x+)+sin2x
=cos2xcos-sin2xsin+

∴最小正周期
令
得
∴f(x)的单调递减区间是

(2)由(1)得：

又cosB=，∴
又∵
即
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