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函数模型一
二次函数模型
一 价格竞争
[问题提出]：甲乙两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此竞争激烈。一天，甲站推出“降价销售”吸引顾客，结果造成乙站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利。我们知道，利润是受销售价和销售量的影响及控制的，乙站为挽回损失，必须采取降价销售这一对策来争取顾客。那么，乙站如何决定汽油的价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润呢？
[分析]：在这场“价格战”中，我们将站在乙站的立场上为其制定价格对策，因此需要组建一个模型来描述甲站汽油价格下调后乙站销售量的变化情况，从而得到乙站的销售利润。
[引入参数]：为描述汽油价格和销售量间的关系，引入指标：
1）价格战前，甲、乙两站汽油的正常销售价格为P（元/升）；
2）降价前乙站的销售量均为L(升)；
3）汽油的成本价格为W（元/升）；
4）降价后乙站的销售价格为x(元/升)，这是变量；
5）降价后甲站的销售价格为y(元/升)。
[模型假设]：影响乙站汽油销售量的因素，主要有以下几个：
1)甲站汽油降价的幅度；2)乙站汽油降价的幅度；3)甲乙两站之间汽油销售价格之差（x-y）。
我们知道，随着甲站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之减小；而随着乙站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之增大；同时，随着两站之间汽油销售价格之差（x-y）的增加，乙站汽油销售量也随之减小。
假设1：在这场价格战中，假设汽油的正常销售价格保持不变；
假设2：以上各因素对乙加油站汽油销售量的影响是线性的,比例系数分别为a,b,c（均为正常数）。
[建立模型]：由假设2，乙站的汽油销售量为
L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)，所以，
乙站的利润函数R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]。
[模型求解]：当y确定时，利润函数
R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]是关于x的二次函数。
求出R(x,y)的最大值点为x*=[L+(a+c)y-P(a-b)+W(b+c)]/2(b+c)。
也就是说，当甲站把汽油的价格降到y元时，乙站把它的汽油价格定为x*时，可以使得乙站获得最高利润。
[数值分析]：令L=2000，P=4，W=3，y分别取3.7、3.8、3.9。
这里参数a、b、c的数值难以给出。因为经济学的现象是难以通过试验来实现的。我们无法要求任何一个加油站频繁调整它的销售价格来统计不同价格下的销售量。因此下面的a、b、c的取值只是虚拟的数值，取a=b=1000,c=4000。当然这里参数a、b、c的数量级是可以由前面的数据估算出来，一般来说，其数量级与L的数量级一样，且a,b的值应该相同。
表1列出了甲站降价0.1、0.2、0.3元时，乙站的最优销售价格。注意到价格竞争前的利润是（4—3）2000=2000。这表明上述模型，双方的价格下降也可能会使乙站的利润提高，但随着甲站降价幅度的增大（即y变小），甲乙双方的利润都会有较大幅度的下降。这就是说，降价销售往往会导致“两败俱伤”。
表1：乙站的最优销售价及其利润
y
x
R(x,y)
3.9
3.8
3.7
3.65
3.60
3.55
2112.5
1800.0
1512.5
[思考]：1）该模型中为什么三个参数a,b,c都取数量级O(1000)?
2）价格差对销售量的线性影响的假设是否恰当？可以修正吗？
二、有关交通的数学模型
[问题背景]：温州七中高一段学生到人民路的城开天桥下的十字路口，希望通过对十字路口红绿灯开设的时间及车流辆的调查，来粗略研究一下有关交通的数学模型。
为此，先让学生分组去观察，把得到的数据取平均，得到了一组数据：东西方向绿灯即南北方向红灯的时间为49秒；南北方向绿灯即东西方向红灯的时间为39秒，所以红绿灯变换的一个周期时间为88秒。在红绿灯变换的一个周期内，相应的车流量：东西方向平均30辆，南北方向平均24辆。那么，这组数据说明了什么问题呢？
（一）交通信号灯的管理
在红绿灯变换的一个周期时间T内，从东西方向到达十字路口的车辆数为H辆，从南北方向到达十字路口的车辆数为V辆，问如何确定十字路口的某个方向红灯与绿灯开的时间更合理?
[分析]：这里所谓的合理，就是从整体看，在红绿灯变换的一个周期内，车辆在此路口的滞留总时间最少。
[模型假设]：
1．黄灯时间忽略不计；只考虑机动车，不考虑人流量及非机动车辆；只考虑东西、南北方向，不考虑拐弯的情况；
2．车流量均匀；
3．一个周期内，东西向绿灯，南北向红灯时间相等；东西向与南北向周期相同。
[建立模型]：
设东西方向绿灯时间（即南北方向红灯时间）为t秒，则东西方向红灯时间（即南北方向绿灯时间）为(T-t)秒；设一个周期内车辆在此路口的滞留总时间为y秒。
根据假设，一个周期内车辆在此路口的滞留总时间y分成两部分，一部分是南北方向车辆在此路口滞留的时间y1，另一部分是东西方向车辆在此路口滞留的时间y2。
下面计算南北方向车辆在此路口滞留的时间y1。
在一个周期中，从南北方向到达路口的车辆数为V，该周期中南北方向开红灯的比率是t/T，需停车等待的车辆数是V·t/T。这些车辆等待时间最短为0（刚停下，红灯就转换为绿灯），最长为t（到达路口时，绿灯刚转换为红灯），由假设2“车流量均匀”，可知它们的平均等待时间是t/2。由此可知，南北方向车辆在此路口滞留的时间y1=V·t/T·t/2=V/2T·t2。
同理，东西方向车辆在此路口滞留的时间y2=H/2T·(T-t)2。
所以y=y1+y2= V/2T·t2+H/2T·(T-t)2。
[模型求解]：函数y=V/2T·t2+H/2T·(T-t)2是关于t的二次函数，容易求得，当t=TH/(H+V)时，y取得最小值。
[数值模拟]：
取问题背景中调查的数据来看，即T=88,H=30,V=24，则
y=24/(2×88)t2+(30/2×88)(88-t)2=(3/22)t2+(15/88)(882-176t+t2)
=(3/22)t2+15×88-30t+(15/88)t2
=(27/88)(t-15×88/27)2-(27/88)(152×882/272)+15×88，
当t=88×30/(30+24)≈48.8889（秒）时，ymin=587秒。
由此可见，我们计算所得的结果和同学们实际测到的数据是比较接近的。这也说明此路口红灯与绿灯设置的时间比较合理。
[评注]：
由上述结果可知，两个方向绿灯时间之比恰好等于两个方向车流量之比时，车辆在此路口的滞留总时间最少。这也是比较符合实际情况的。
[思考]：上面这个模型涉及的变量只有一个（车流量），若再将停车后汽车延迟发动达到正常车速所用的时间考虑在内，又该如何求解呢？
（二）交通路口的红绿灯模型
在一个有红绿灯的十字路口，如果绿灯亮t秒（如t=15秒），问最多可以有多少辆汽车通过这个交叉路口？试建立数学模型予以说明。
[分析]：由于交通灯对十字路口的控制方式很复杂，特别是车辆左、右转弯的规则，不同的国家都不一样。通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的数量以及它们行驶的速度和方向。为此在一定的假设之下把问题简化。
[模型假设]：
1）十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生阻塞。
2）所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，且仅考虑马路一侧或单行线上的车辆。
3）在红灯下等待的车辆足够长，且所有的车辆长度相同，设为L米。
4）红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等，设为D米。
5）前一辆车启动后，下一辆车延迟启动时间相等，设为T秒。
6）所有车辆都是从静止状态匀加速启动，且加速度相同，设为a米/秒2。
7）城市道路上行驶的汽车有最高速度的限制，设为v*米/秒。
8）汽车启动后，将匀加速到最高速度v*米/秒，然后以这个速度匀速向前行驶。
[建立模型]：
用X轴表示车辆行驶的道路。原点O表示交通灯的位置，X轴的正向是汽车行驶的方向。以绿灯亮为起始时刻。
用Sn(t)来表示第n辆车在绿灯亮了t秒后在X轴上的位置（坐标）。那么，对于灯后的第n辆车，有三种状态：
1）当0≤t<(n-1)T时，车处于静止状态，
此时Sn(t)=-(n-1)(L+D)；
2）当(n-1)T≤t<v*/a+(n-1)T时，车处于匀加速状态，
此时Sn(t)=-(n-1)(L+D)+a[t-(n-1)T]2/2；
3）当t≥v*/a+(n-1)T时，车处于匀速状态，
此时Sn(t)=-(n-1)(L+D)+v*2/2a+v*[t-v*/a-(n-1)T]。
由此，车的位置构成了按时间t的分段函数。
[模型求解]：当已知t时，由Sn(t)>0，解出相应的n，就可知最多可以有多少辆汽车通过这个交叉路口。
另外，对于给定的n,也可由Sn(t)>0，求出这一路口绿灯至少应该亮的时间t。
[数据模拟]：取一组模型的参数值：L=5米，D=2米，T=1秒，v*=11米/秒，a=2米/秒2，于是可得v*/a=5.5秒。代入得：
1)当0≤t<n-1时，Sn(t)=-7(n-1)；
2)当n-1<t≤n+4.5时，Sn(t)=-7(n-1)+[t-(n-1)]2；
当t>n+4.5时，3)Sn(t)=-7(n-1)+112/4+11(t-n-4.5)=11t-18n-12.25。
当t=15时，将n从1开始逐个代入，求出Sn(t)的值，即表2。
表2 绿灯亮至15秒各汽车的位置
车号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
位置
135.7
117.6
99.5
81.4
63.3
45.2
27.1
9.0
–9.1
这说明当t=15秒时，第八辆汽车已通过这个交叉路口，而第九辆车还距交通灯9.1米，不能通过。
表3 绿灯亮了t秒最多通过的汽车数n辆
t秒
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
n辆
8
11
14
17
20
23
26
29
32
35
39
42
从表3-3看出，由于汽车加速到最高限速v*的时间比较短（5.5秒），因此绿灯亮了t秒与最多通过的汽车数n辆基本上呈线性关系，这一点也是比较符合实际的。