专题二第1讲.doc

专题二 三角函数与平面向量

第1讲　三角函数的图象与性质
【高考考情解读】　1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.
2.题型多以客观题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．

1． 三角函数定义、同角关系与诱导公式
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
(3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
2． 三角函数的图象及常用性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

单调性

对称性

3． 三角函数的常见变换
相位变换、周期变换、振幅变换以及由y＝sin(x)的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象
考点一　三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题
例1　(1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为________．

(2)(2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心
的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上
沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．

(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．
(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
(1)若sin＝a，则cos＝________.

(2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，
已知点P的坐标为.求的值．

考点二　三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式
例2　如图，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象，
由图中条件，写出该函数的解析式．

(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
(1)(2013·四川改编)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)
的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．

(2)(2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，
cos B＝.
①求a，c的值； ②求sin(A－B)的值．

考点三　三角函数的性质
例3　(2012·北京)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．

函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路
第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；
第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．
(1)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，g(x)＝sin x－cos x，有下列四个命题：
①将f(x)的图象向右平移个单位可得到g(x)的图象；
②y＝f(x)g(x)是偶函数；
③f(x)与g(x)均在区间上单调递增；
④y＝的最小正周期为2π.
其中真命题是________．(填序号)

(2)(2013·安徽)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
①求ω的值；②讨论f(x)在区间上的单调性．

1． 求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间
(1)将ω化为正．
(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．
2． 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式
(1)A＝，B＝. (2)由函数的周期T求ω，ω＝.
(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.
3． 函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
4． 特别提醒：
进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.

1． 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：
①f(x)＝sin x－cos x；②f(x)＝(sin x＋cos x)；
③f(x)＝sin x＋2；④f(x)＝sin x.
则其中属于“互为生成函数”的是________．(填序号)

2． 已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.
(1)求f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

1． 点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．

2． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.

3． 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于________．

4． 将函数y＝cos的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数的解析式为________．

5． 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且·＝0，则A·ω等于________．

6． 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) (ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为________．

7． (2012·课标全国改编)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．

8． 函数f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________．

9．已知f(x)＝2sin－m在x∈[0，]上有两个不同的零点，则m的取值范围为________．

10．关于函数f(x)＝sin 2x－cos 2x有下列命题：
①y＝f(x)的周期为π；②x＝是y＝f(x)的一条对称轴；③是y＝f(x)的一个对称中心；④将y＝f(x)的图象向左平移个单位，可得到y＝sin 2x的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．

11．已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－·sin(0<φ<π)，其图象过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值．

12． (2012·湖南)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．

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