华师大版第25章解直角三角形电子课本（新）.docx

第25章 解直角三角形 2
§25.1 测量 3
§25.2 锐角三角函数 4
1.锐角三角函数 4
2．用计算器求锐角三角函数值 7
§25.3 解直角三角形 9
阅读材料 13
小结 14
复习题 15
课题学习 18

第25章 解直角三角形

测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题．

§25.1 测量
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？
你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．

如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．
如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．

试一试
如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．
你知道计算的方法吗？

实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．

练习
1．　小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
2．　请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．

习题25．1
1．　如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）

2．　在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
3．　如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．

§25.2 锐角三角函数
1.锐角三角函数
在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即
△ABC∽△A′B′C′．
按的比例，就一定有
，
就是它们的相似比．
当然也有．
我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示（如图25．2．1）．

前面的结论告诉我们，在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．

思考
一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？

观察图25．2．2中的Rt△、Rt△和Rt△，易知
Rt△∽Rt△_________∽Rt△________，
所以＝_________＝____________．
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．
我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．
因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即
sinA＝，cosA＝，
tanA＝，cotA＝．
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数．
显然，锐角三角函数值都是正实数，并且
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．
根据三角函数的定义，我们还可得出
＝1，
tanA·cotA＝1．

例1 求出图25．2．3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值．
解 ，
sinA＝，
cosA＝，
tanA＝，
cotA＝．

探索
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少．
通过计算，我们可以得出

sin30°＝，
即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：　
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

思考
上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．

做一做
在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A的四个三角函数值：　
（1）　∠A＝30°；（2）　∠A＝60°；（3）　∠A＝45°．

为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：
α
sinα
cosα
tanα
cotα
30°

45°

1
1
60°

练习
1．　如图，在Rt△MNP中，∠N＝90°．
∠P的对边是____________，∠P的邻边是__________；
∠M的对边是____________，∠M的邻边是_________．

2．　求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值．
3．　设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值：　
（1）　a＝3，b＝4；（2）　a＝5，c＝13．
4．　求值：　2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．

2．用计算器求锐角三角函数值
下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．
（1）　求已知锐角的三角函数值

例2 求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001）
解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：　
D
3
MODE
SHIFT

(SETUP) 显示 ．
再按下列顺序依次按键：　
=
o’”
41
o’”
52
o’”
63
sin

显示结果为0．897859012．
所以sin63°52′41″≈0．8979．
D
例3 求cot70°45′的值．（精确到0．0001）
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示 ），按下列顺序依次按键：
=
o’”
45
o’”
70
tan

1

显示结果为0．3492156334．
所以cot70°45′≈0．3492．

（2）　由锐角三角函数值求锐角
例4已知tanx＝0．7410，求锐角x．（精确到1′）
D
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示 ），按下列顺序依次按键：　

=
0
1
4
7

0
tan
SHIFT
()
显示结果为36．53844577．
再按键：　
o’”
SHIFT

显示结果为．
所以x≈36°32′．
例5 已知cotx＝0．1950，求锐角x．（精确到1′）
分析 根据，可以求出tanx的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值．

练习
1．　使用计算器求下列三角函数值．（精确到0．0001）
sin24°，cos51°42′20″，tan70°21′，cot70°．
2．　已知下列锐角α的各三角函数值，使用计算器求锐角α．（精确到1′）
（1）　sinα＝0．2476；（2）　cosα＝0．4174；
（3）　tanα＝0．1890；（4）　cotα＝1．3773．

习题25．2
1．　在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝21，AB＝29，分别求∠A、∠B的四个三角函数值．
2．　在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝3∶4，求∠A的四个三角函数值．
3．　求下列各式的值．
（1）　sin30°＋－60°；
（2）．
4．　用计算器求下式的值．（精确到0．0001）
sin81°32′17″＋cos38°43′47″．
5．　已知cotA＝3．1748，利用计算器求锐角A．（精确到1′）

§25.3 解直角三角形
我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具．

例1 如图25．3．1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？

解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为
，
26＋10＝36（米）．
所以，大树在折断之前高为36米．

在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

例2 如图25．3．2，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）
解 在Rt△ABC中，
∵　∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，
＝tan∠CAB，
∴　BC＝AB·tan∠CAB
＝2000×tan50°≈2384（米）．
∵　＝cos50°，
∴　AC＝≈3111（米）．
答：　敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米．
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，角度精确到1′．
解直角三角形，只有下面两种情况：　
（1）　已知两条边；
（2）　已知一条边和一个锐角．

练习
1．　在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？
2．　海船以32．6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离．（画出图形后计算，精确到0．1海里）

读一读

如图25．3．3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．

例3 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22．7米的D处，用高1．20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0．1米）

解 在Rt△ACE中，
∵　AE＝CE×tanα
＝DB×tanα
＝ 22．7×tan22°
≈ 9．17，
∴　AB＝ BE＋AE
＝AE＋CD
＝9．17＋1．20≈10．4（米）．
答：　电线杆的高度约为10．4米．

练习
1．　如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B的距离．（精确到1米）

2．　两座建筑AB与CD，其地面距离AC为50．4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25°，测得其底部C的俯角α＝50°，求两座建筑物AB与CD的高．（精确到0．1米）

读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．
如图25．3．5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即．

坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6．
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有
＝tanα．
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．

例4 如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）

解作DE⊥AB，　CF⊥AB，垂足分别为E、　F．由题意可知
DE＝CF＝4．2（米），
CD＝EF＝12．51（米）．
在Rt△ADE中，
∵　i＝＝tan32°，
∴　AE＝≈6．72（米）．
在Rt△BCF中，同理可得
BF＝≈7．90（米）．
∴　AB＝AE＋EF＋BF
≈6．72＋12．51＋7．90≈27．1（米）．
答：　路基下底的宽约为27．1米．

练习
一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6．2米，坝高23．5米，斜坡
AB的坡度＝1∶3，斜坡CD的坡度＝1∶2．5．求：
（1）　斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0．1米）
（2）　斜坡CD的坡角α．（精确到1°）

习题25．3
1．　在Rt△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形：
（1）　已知a＝，　b＝，求c;
（2）　已知a＝20，　c＝，求∠B；
（3）　已知c＝30，　∠A＝60°，求a；
（4）　已知b＝15，　∠A＝30°，求a．
2．　一个公共房屋门前的台阶共高出地面1．2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到0．1米）
3．　两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？（精确到1米）

4．　一艘船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的北偏东59°，距离为72海里的A处；上午10时到达C处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度．（精确到1海里/时）

阅读材料
葭生池中
今有方池一丈，
葭生其中央，
出水一尺，
引葭赴岸，
适与岸齐．
问：　水深、葭长各几何？

（采自杨辉《详解九章算法》，1261年）
这是我国数学发展史上著名的“葭生池中”问题．它的解法可以由下图获得．

中世纪，印度著名数学家婆什迦罗（Bhaskara，1114—1185？）在其著作中提出了与“葭生池中”相似的“荷花问题”．
平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面．
忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃．
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现．
残花离根二尺远，试问水深尺若干．
这类问题还有很多很多．
你看，关于勾股定理应用的丰富有趣的数学问题到处可见，你还能找到一些其他的问题吗？

小结
两个锐角互余
一、 知识结构

斜边上的中线等于斜边的一半

解直角三角形
30°角所对的直角边等于斜边的一半
直角三角形
应用

勾股定理

边角关系：　锐角三角函数

二、　概括
1．　理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；
2．　能应用直角三角形的边角关系解决有关的实际问题．

复习题
A组

1．　某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚（如图），若棚宽a＝4m，高b＝3m，长d＝35m，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．

2．　如图，正方形ACDE的面积为25，测量出AB＝12cm，　BC＝13cm，问E、A、B三点在一条直线上吗？为什么？
3．　已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长．
4．　求下列各式的值．
（1）　2cos30°＋cot60°－2tan45°；
（2）　；
（3）　．

5．　求下列各直角三角形中字母的值．

6．　小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）
7．　在Rt△ABC中，∠C＝90°，　∠A＝60°，∠A的平分线AM的长为15cm，求直角边AC和斜边AB的长．（精确到0.1cm）
8．　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC是直角边BC的2倍，求∠B的四个三角函数值．
9．　如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求：
（1）　y的值；（2）　角α的正弦值．

10．　如图，飞机A在目标B的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，求地面目标B、Ｃ之间的距离．（结果保留根号）
11．　如图，一个古代棺木被探明位于点A地下24米处．由于点A地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距点A 8米的点B挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？（角度精确到1′，距离精确到0．1米）

B组
12．　如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD．（i＝CE∶ED，单位米，结果保留根号）
13．　如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角α＝30°，测得点C的俯角β＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）

C组
14．　如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高1．2米的测角仪CD，测得电视塔的顶端A的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔的顶端A的仰角为 61°，求这个电视塔的高度AB．（精确到1米）

15．　如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC长为30米．
（1）　求河的宽度（即求△ABC中BC边上的高）；（精确到1米）
（2）　请再设计两种测量河的宽度的方案．

16．　折竹抵地（源自《九章算术》）：　
今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？
意即：　一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子？

课题学习
高度的测量
我们已经学会了一些测量方法，现在请你观察一下学校中较高的物体，如教学楼、旗杆、大树等等.如何测量它们的高度呢？
选定某一个物体，先与你的小伙伴一起讨论，确定如下的问题：　
1．　可以用什么测量方法？
2．　每一种方法要用到哪些工具？
3．　应测量得到哪些有关的数据？
4．　如何计算最后的结果？
写出你们的计划，再实际做一做，看看最后的结果如何．与其他的小组比较一下，看谁的效果较好．