初等几何研究试题答案(1)(李长明版).doc

初等几何研究试题答案（I）

一、线段与角的相等
1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F,
求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;
(2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.

证明:(1)连接AC、AE、AF、AD
在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF
在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD
由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2
由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4
所以△ACE≌△AFD
∴DF=CE
(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4
∵DF=CE
∴△ACE≌△AFD

∴AD=AE
在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA

2. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O ,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=BD,
求证:BD平分∠ABC.

证明:延长AE,BC交于点F

3. 已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180º－2,
求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.

证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形
且底角是∠CDB=[180º－(180º－2)]÷2=.
∴∠BDE=(180°－2)-=180º－3
∴A、B、D、E共圆
同理A、C、D、E共圆
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE
4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径.
求证:∠BAC=60º
C

证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD
∵∠DBC=90º, ∴CD是直径,则∠CAD=90º
由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC
∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□
∴AH=BD
又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R
∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30º
∴∠BDC=60º
又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60º

5. 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE.

证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB = GO,
∵ ∠5=∠4=∠6,∴CO =CE,
∵ FG∥AB,∴AF／CF=BG／CG=GO／CG,
又∵△FCO∽△COG,∴CO／CF=GO／CG=AF／CF,
∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE.
6. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.

证:如图所示
设AC、ED的交点为F
∵AD是∠A的平分线 ∴∠1=∠2
∵DE∥AB ∴∠1=∠3
∵CE∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5
则△FAD和△FCE是等腰三角形
∴AF=DF,EF=CF
∴AC=DE
同理可证 BC=DE
∴AC=BC
∴△ABC是等腰三角形

7. 三条中线把△ABC分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等.
求证:△ABC是正三角形．

证明:∵△AOF、△AOE、△COD、△COE、△BOF、△BOD面积都相等
∴S△OFB=S△OEC
即:BF×r+FO×r+BO×r=CE×r+OE×r+OC×r
(BF+FO+BO)×r= (CE+OE+OC)×r
∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC
∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ
∴2DH+2BH=2FK+2CK
∴2BF=2CE
又F、E分别为AB、AC之中点
∴AB=AC
同理:AB=BC
故△ABC是正三角形.
8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等
证明:该四边形为菱形.

证明:又∵△AOB、△BOC 、△COD、△DOA四个三角形的面积相等
∴四边形为菱形

9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 .
A
B
D
C
P
N
O1
O2
O
O3
O4
M
Q

证明:连结O1 、O2,分别作O1 、O2到AC的垂线,垂足分别为P 、M
∵在△ABC中,BO是☉O1 、☉O2的公切线
∴BO⊥O1 O2
又∵☉O1 、☉O2半径相同,且都与AC相切
∴O1 O2‖AC
∴BO⊥AC BD⊥AC
∵两个相等的内切圆☉O1 、☉O3在对顶三角形
△AOB与△COD中
∴周长C△AOB=C△COD
∴AO+BO+AB=CO+DO+CD
又∵OP=OQ=OM=ON
∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON)
∴2AB=2CD
∴AB=CD
同理AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形

10. 在锐角△ABC中,BD,CE是两高,并自B作BF⊥DE于F,自C 作CG⊥DE于G,证明:EF=DG.
M
G
O
F
E
D
C

B
A

证明:设O,M分别是BC,FG的中点,
所以OM∥BF,
因为BF⊥FG, 所以OM⊥FG,
又因为∠BEC=∠BDC=
所以BCDE四点在以BC为
直径的圆上,
因为OM⊥DE,
所以OM平分ED,
所以FM-EM=MG-MD
即EF=DG.

11. △ABC中,M是BC的中点,I是内心,BC与内切圆相切与K.
求证:直线IM平分线段AK.

证明:作出∠A的旁切圆O,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F,（如图）
连接AD交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A为中点成位似,则:
IL⊥BC,即K,I,L共线
于是原题借中位线可如下转化MI平分AK,
∴M平分DK
∴BD=KC
后者利用圆I与圆O两条外公切线相等
∴EG=FH
∴BD+BK=CD+CK
则反推过去,得到IM平分线段AK.

12．在△ABC中,M是BC的中点,I是内心,AH⊥BC于H,AH交MI于E,求证:AE与内切圆半径相等.

证明:如图所示
作△ABC的内切圆,
∴切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC
∴ KL是直径,
又∵M为BC的中点,I为内心,则AL∥ＭＩ
　　　又∵AH⊥BC
∴AH∥LK
又∵点E点I分别都在AH、LK上
∴AE∥LI
∴四边形AEIL为平行四边形
∴AE＝LI
命题得证.

13. 在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点,记Q为PM与AC的交点,求证:∠QNM＝∠MNP

证明:利用矩形的中心
设O是矩形ABCD的中心,则O也是MN的中点,
延长QN交OC的延长线于R,如图,则O 又是PR的
中点,故NC平分∠PNR.,而NM⊥NG.
∴NM平分∠PNQ

14. 给定以O为顶点的角,以及与此角两边相切于A、B的圆周,过A作OB的平行线交圆于C,连结OC交圆于E,直线AE交OB于K,求证:OK=KB.

证明:如图所示,过C作圆的切线交OB延长线于D.
∵OD,OA,CD都是圆的切线,且AC∥CD
∴四边形ACDO是等腰梯形,∠DOA=∠D
∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAK ∴∠BOC=∠OAK
∵∠DOA=∠D ∴△AOK～△ODC
∵ ∴
∵OA=OB ∴OB=OA=2KO,即OK=KB
15. 在等腰直角∆ABC的两直角边CA,CB上取点D、E使CD=CE,从C、D引AE得垂线,并延长它们分别交AB于K、L,求证:KL=KB.
AVBV
LV
KVBV
EVBV
HBV
E’VBV
DVBV
CVVBV
BVBV

证明:延长AC至E'使CE'=CE,再连BE'交AE的延长线于H.
∵∆ABC是等腰直角三角形
∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90°
又∵CE=CE' ∴∆BCE'≌∆ACE
∴∠CAE=∠CBE'
∵∠AEC=∠BEH ∴∆BHE∽∆ACE
∴∠BHE=∠ACB=90°
∵DL∥CK∥E'B及DC=CE'
∴KL=LB.

16. 点M在四边形ABCD内,使得ABMD为平行四边形,试证:若∠CBM=∠CDM,则∠ACD=∠BCM.

证:作AN∥BC且AN=BC,连接DN、NC
∵ABMD为平行四边形,AN∥BC且AN=BC
∴ABCN、DMCN为平行四边形,AD=BM
∴DN=CM、AN=BC
∴△ADN≌△BMC
∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7
∵∠1=∠2
∴∠3=∠4
∴A、C、N、D共圆（视角相等）
∴∠5=∠7（同弧AD）
∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM

17.已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-∠BDC,求证:△ABC是等腰的.

证明:延长CD使得BD＝DE,并连结AE
∵∠ADB＝90°－∠BDC
∴2∠ADB＋∠BDC＝180°
又∠BDC＋∠ADB＋∠ADE＝180°
∴∠ADB＝∠ADE
又∵BD＝DE,AD＝AD
∴△ADB≌△ADE
∴∠ABD＝∠AED＝60°,AB＝AE
又∵∠ACD＝60°
∴△ACE为正三角形
∴AC＝AE
∴AB＝AC
∴△ABC为等腰三角形

18.⊙O1、⊙O2半径皆为r,⊙O1平行四边形`过的二顶A、B,⊙O 2过顶点B、C,M是⊙O1、⊙O2的另一交点,求证△AMD的外接圆半径也是r.

证明: 设O为MB的终点
连接CO并延长⊙O1于E
则由对称知O为CE的中点
∵O平分MB
O平分CE
∴MEBC是平行四边形∴
∴ME∥BC∥AD
∴MEAD亦是平行四边形
∴△MAE≌△AMD
∴△AMD的外接圆半径也为r

19. 在凸五边形ABCDE中,有∠ABC=∠ADE,∠AEC=∠ADB,
求证:∠BAC=∠DAE.
D
C
B
E
A
F

证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图,
∵∠AEC=∠ADB.
∴A,E,D,F四点共圆.
∴∠DAE=∠DFE.
又∠ABC=∠ADE=∠AFE.
∴A,B,C,F四点共圆.
∴∠BAC=∠BFC.
又∠DFE=∠BFC.
∴∠BAC=∠DAE.

20. 在锐角△ABC中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C处的两切线分别交B处的切线于M、N,设BD是△ABC的高（D为垂足）,求证:BD平分∠MDN.

证明:如上图,m、n分别表示过M、N的切线长,再自M作MM’⊥AC于M’, 作NN’⊥AC于N’,则有
∵∠N＝∠B＝∠NCN’
∴△MAM’∽△NCN’
∴AM’/’CN’=AM/CN=m/n
又∵MM’∥BD∥NN’
∴M’D/DN’=MB/BN=m/n
由等比性质知
m/n=(M’D－AM’)/(DN’-CN’)=AD/DC
∴△ADM∽△CDN
∴DM/DN=m/n即DM/m=DN/n
∴BD平分∠MDN

21.已知:AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:DA、EB、FC是△DEF的三条角平分线.

证明:连结DF、FE、DE
∵CF⊥AB AD⊥BC
∴B、D、H、F共圆
∴∠1＝∠3
∵AD⊥BC BE⊥AC
∴B、D、E、A共圆
∴∠2=∠3
∴∠2=∠1
∴AD平分∠EDF
同理,CF平分∠EFD
BE平分∠FED
即证:DA、EB、FC是△DEF的三条角平分线

22.已知AD是△ABC的高,P是AD上任意一点,连结BP-CP,延长交AC、AB于E、F,证DA平分∠EDF.
B
C
A
D
E
F
I
J
P

证:过E、F两点分别作EH、FG,使EH⊥BC,FG⊥BC,且交CF、BE于I、J
∵EH⊥BC,AD⊥BC,FG⊥BC
∴EH∥AD∥FG
∴== ∴
又∵
∴△EIP∽△JFP
∴ ∴△EHD∽FGD
∴∠DFJ=∠DEI ∴∠FDB=∠EDC
即∠ADF=∠ADE
即DA平分∠EDF

23.圆内三条弦PP1、QQ1、RR1、两两相交,PP1与QQ1交于B,QQ1与RR1交于C,RR1与PP1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR1=BP1=CQ1,求证:ABC是正三角形.

解:设AP=BQ=CR=m,AR1=BP1=CQ1,
则由相交弦定理得｛m(c+n)=n(b+m)
m(a+n)=n(c+m)
m(b+n)=n(a+m)
即ma=nc
mb=na
mc=nb
三式相加得m=n
所以a=b=c即△ABC是正三角形

24.H为ABC的垂心,D、E、F分别为BC、CA、AB的中点,一个以H为心的圆交DE于P、Q,交EF于R、S,交FD于T、V.求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU
A
B
C
H
D
E
F
R
S
T
Q
K
C`
A`
B`

证明:连结AS、AR、RH
由相交弦定理知:
AH·HA`=BH·HB`=CH·HC`
AS2=AR2=AK2+KR2
设H的半径为r,
在KRH中,KR2=r2-HK2
AS2=r2+（AK+KH）·（AK-HK）
=r2+AH·(AK-HK)
在ABC中,F、E为AB、AC的中点,且AA`BC
AK=KA`
AS2=AR2=r2+AH·HA`
同理:BT2=BU2=r2+BH·HB`
CP2=CQ2=r2+CH·HC`

25、在锐角三角形ABC中,AD、BE、CF是各边上的高,P、Q分别在线段DF、EF上,且∠PAQ与∠DAC同向相等.
求证:AP平分∠FPQ

证明:作出△APQ的外接圆,延长PF交圆于R,分别连结 RA、RQ
由图可知,AQPR内接于圆
∴∠PRQ=∠PAQ=∠DAC=∠DFE
由外角定理得,∠PRQ+∠FQR=∠DFE
∴FC∥RQ
∴AF⊥RQ FR=FQ
∴AF垂直平分RQ
∴∠ARQ=∠AQR
又AQPR内接于圆
∴∠APQ=∠ARQ ∠APR=∠AQR
∴∠APQ=∠APR
∴AP平分∠FPQ

P
C
B

Q

R

A

S

27．已知:凹四边形ABCD中,.求证:AC=BD.

证明: 如图,延长DC交AB于点E,延长BC交AD于点F.
∵
且
又

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