二面角求解方法.doc

二面角的作与求
求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：
1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题
5异面直线距离法：
EF2=m2+n2+d2－2mn
P

C
B
A
E
例1：若p是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，PA=,求二面角P-BC-A的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形，
故采用定义法
解：取BC的中点E，连接AE、PE
AC=AB，PB=PC
AE BC，PE BC
为二面角P-BC-A的平面角
在中AE=PE=，PA=
=900
二面角P-BC-A的平面角为900。
例2：已知是正三角形，平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角
来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作
平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点
E
P
C
B
A
F
间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）
取AC的中点E，连接BE，过E做EFPC,连接BF
平面ABC，PA平面PAC
平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC
图1
BE平面PAC
由三垂线定理知BFPC
为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1,E为AC的中点，BE=,EF=
tan=
=arctan
解2：（三垂线定理法）
P
C
B
A
E
F
M
取BC的中点E，连接AE，PE过A做AFPE, FMPC,连接FM
AB=AC,PB=PC
AEBC,PEBC
BC平面PAE,BC平面PBC
图2
平面PAE平面PBC, 平面PAE平面PBC=PE
由三垂线定理知AMPC
为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1，AM=,AF=
sin=
P
C
B
A
E
=argsin
解3：（投影法）
过B作BEAC于E,连结PE
平面ABC，PA平面PAC
图3
平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC
BE平面PAC
是在平面PAC上的射影
设PA=1,则PB=PC=,AB=1
,
由射影面积公式得，,
解4：（异面直线距离法）
E
P
C
B
A
D
过A作ADPC,BEPC交PC分别于D、E
设PA=1,则AD=,PB=PC=
图4
BE==,CE=,DE=
由异面直线两点间距离公式得
AB2=AD2+BE2+DE2-2ADBE,=
[点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
例3：二面角的大小为，A是它内部的一点，AB，AC,B、C为垂足。
（1） 求证：平面ABC,平面ABC
（2） 当AB=4cm,AC=6cm时求BC的长及A到EF的距离。
分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角
A
B
C
D
解：（1）设过 ABC的平面交平面于BD,交平面于CD
AB,AB平面ABC
平面ABC,同理平面ABC
（2）AB
ABEF
同理ACEF
EF平面ABDC
BDEF, CD EF
=

BC=cm
有正弦定理得点A到EF的距离为：d=cm

《二面角的求法》
一、复习引入：
1、什么是二面角及其平面角？范围是什么？
①从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l—β。
②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
③范围：
2、二面角出现的状态形式有哪些？

　　　　竖立式　　　　　　 横卧式

2、二面角的类型及基本方法
（1）四种常规几何作求法

定义法 垂面法；

三垂线法； 射影面积法=S射影多边形/S多边形

（2）向量法：
①设和分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量
、的夹角为，如图：

结论①：设和分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 、的夹角为，则有或
结论②：一般地，若设分别是平面的法向量，则平面与平面所成的二面角的计算公式是： 或 ，其中锐角、钝角根据图形确定。
二、例题讲解：
以锥体为载体，对求角的问题进行研究
例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD= .求面SCD与面SAB所成的角的大小。
解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S△SCD与S△SAB即可，
图1
S
D
C
B
A
故所求的二面角θ应满足=
== 。

点评：（1）若利用射影面积法求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.（2）由学生讨论解决，教师根据学生的解答情况进行引导、明确学生的解答。
解法2：（三垂线定理法）
解：延长CD、BA交于点E，连结SE，SE即平面CSD与平面BSA的交线.
又∵DA⊥平面SAB，∴过A点作SE的垂线交于F.如图.
A
B
C
D
E
S
∵AD＝BC且AD∥BC
∴△ADE∽△BCE
∴EA＝AB＝SA
又∵SA⊥AE ∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点， 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE
∴由三垂线定理得DF⊥SE
∴∠DFA为二面角的平面角,
∴tanDFA＝即所求二面角的正切值.
评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。
点评：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面内。
解法3：（向量法）
解：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0，，0)，S(0，0，1)，易知平面SAB的法向量为=(0，，0)；设平面SDC的法向量为=(x，y，z)，而=(-1，，0)，=(0，， 1)，∵⊥面SDC，∴⊥，⊥，n1⊥.

S
D
C
B
A
∴得
令得：。即=(1，2，1)
∵面SAB与面SCD所成角的二面角为锐角θ，
==
∴θ=arccos.
故面SCD与面SBA所成的角大小为arccos.
点评：通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了“作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。搭建平台，自主交流，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美，一题多解是训练学生思维的有效形式。

以柱体为载体，对求角的问题进行研究
例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.
（几何法）解：在平面M1B1B内延长DE和A1B1交于F，则F是面DEF与面A1B1C1的公共点，C1也是这两个面的公共点，连结C1F，C1F为这两个面的交线，所求的二面角就是D-C1F-A1.
∵A1D∥B1E，且A1D=2B1E，
∴E、B1分别为DF和A1F的中点.
∵A1B1=B1F=B1C1，∴FC1⊥A1C1.
又面AA1C1C⊥面A1B1C1，FC1在面A1B1C1内，
∴FC1⊥面AA1C1C.而DC1在面AA1C1C内，
∴FC1⊥DC1.∴∠DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角.
由已知A1D=B1C=A1C1，∴∠DC1A1=.故所求二面角的大小为.
法2：（向量法）
解：建立如图的空间直角坐标系，设，则，1，0），E(,1,1),(0,2,0),D(0,0,2),易知平面A1B1C1的法向量为=(0,0,1),
设平面DEC的法向量为=(x，y，z), 而=(,1,-1),=(0,2,-2),由即，不妨设，得=（0，1，1），∵面A1B1C1与面DEC所成角的二面角为锐角θ，
。
点评：无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行）。那么延长这两条线有一交点，根据公理2，这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理4，可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。
课堂反馈练习：
如图, 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=DA=AB=1，P、Q 分别是CC1、C1D1的中点，求二面角B-PQ-D的大小。
解：建立如图所示的坐标系D---xyz，，则
A
B
C
C1
Q
D1
A1
B1
P
x
y
z
D
,A(1,0,0)，

因DA⊥面PQD，所以是面PDQ
的法向量。设为面BPQ的法
向量，则，
解得， 取=(2,1,2)，
∴ 。 从图中可知，二面角B-PQ-D为锐角，
因此二面角B-PQ-D的大小为.
点评：二面角问题可以综合较多知识点，可以综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题。在计算方面要用到解三角形的知识，要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角，然后通常归结在一个三角形中去求出最后的结果。总的，解这类题，找平面角是关键的一步，要注意运用题中的条件分析图形，然后用有关的方法找出平面角，计算时要分析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐步去求出。
三、课堂小结：
二面角的类型和求法可用框图：

点评：自主小结的形式将课堂还给学生，既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固。
四、作业：
如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且。求二面角的大小。

解： 取BC的中点O，连AO。由题意 平面平面，，∴平面，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 则 ，，，， ∴ ， ， ，由题意 平面ABD， ∴ 为平面ABD的法向量。设平面的法向量为 ，则 ， ∴ ， ∴ ，即 。 ∴ 不妨设 ，由 ， 得。 故所求二面角的大小为。