第二章 离散傅里叶变换 数字信号处理习题答案.doc

第二章 离散傅里叶变换(DFT)
1． 设x(n)=R3(n)
求，并作图表示，。
解：
=

-7 1 2 7 8 9 n
||

k

2.设
求：，的周期卷积序列，以及。
解：

2． 用封闭形式表达以下有限长序列的DFT[x(n)]。
解：
(1)

X(k)=DFT[x(n)]

(2)

(3)

有：X(k)=DFT[x(n)]

(4)

4.已知以下X(k),求IDFT[X(k)],其中m为某一正整数,0<m<N/2.
解：(1)

(2)

x(n)=IDFT[X(k)]=

5．有限长为N=100的两序列

作出x(n),y(n)示意图,并求圆周卷积f(n)=x(n)y(n)并作图。
解：

x(n)

y(n) 10 99 n

90 99 n
y(n)

10 90 99 n
6．有限长序列N=10的两序列
用作图表示x(n),y(n)f(n)=x(n)y(n)。
解：
x(n)

0 9 n
y(n)

9
n
f(n)
5
1
-1 n
-3
-5
7．已知两有限长序列用卷积法和DFT变换两种方法分别求解f(n)。
解：(1)

(2)

(3)

8．x(n)为长为N有限长序列，分别为x(n)的圆周共轭偶部及奇部，也即：

证明：

9．证明：若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N-n),则X(k)也实偶对称；
若x(n)实奇对称，即x(n)=-x(N-n),则X(k)为纯虚数并奇对称。
证：
(1)
又：

(2)

10．若已知：DFT[x(n)]=X(k)
求：。
解：
同理：
11．若长为N的有限长序列x(n)是序列x(n)=
(1)求Z[x(n)]并画出其零极点分布；
(2)求频谱并作幅度曲线；
(3)求DFT[x(n)]用封闭形式表达式，并对照。
解：(1)
Z[x(n)]
图略
(2)

(3)
12．已知x(n)是长为N的有限序列，X(k)=DFT[x(n)],现将长度扩大r倍,得长度为rN的有限长序列y(n)

求：DFT[x(n)]与X(k)的关系。
解：

13.已知x(n)是长为N的有限长序列,X(K)=DFT[x(n)],现将x(n)的每两点之间补进r-1个零点,得到一长为rN的有限长序列y(n)

求：DFT[y(n)]与X(k)的关系。
解：

14．若DFT[x(n)]=X(k)，求证：DFT[x(n)]=N
证：

上式中，令k=m -n=k
则：
15．已知复有限长序列f(n)是由两实有限长序列x(n),y(n)组成f(n)=x(n)+jy(n)，令已知DFT[f(n)]=F(k),求X(k),Y(k)以及x(n),y(n)。
解：
(1)

(2)

y(n)=
16．已知序列x(n)=,0<a<1,今对其z变换X(z)在单位圆上N等分采样，采样值为X(k)=X(z),求有限长序列IDFT[X(k)]。
解：方法一
方法二

17．设是周期为N的周期序列，通过系统H(z)以后，求证序列为

证：在单位圆上对H(z)N等分采样，x(n)通过系统H(z)以后,输出频谱为

18．若系统H(z)的输入为周期单位脉冲序列
,并测得系统输出序列及DFS[]=,问：系统函数在单位圆上的采样值等于多少？
解：