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高等电磁理论高等电磁理论第二章 电磁场的辅助函数第二章 电磁场的辅助函数j te一电磁位函数一电磁位函数1.矢量磁位和标量电位（时谐场）只有电流源时:eBA=?()eeEj BjA=?()0eEj A+=?eEj A+=?eEj A=?eeDHJt=+?1()eAJjEJjj A=+=+?根据：0eeceeeveveDHJtBEtDBJt=+=?高等电磁理论高等电磁理论22()AAAJjA =+?22()AAJAj+=+?22k=22Ak AJ+=?=+22k设矢量磁位满足方程：同理可得：0Aj+=?洛仑兹条件：eBA=?eAEj Ajj A=?可见，由电荷和电流产生的电磁场可用矢量磁位表示：()d4jk r rJ eAVrr=?矢量磁位的解为：高等电磁理论高等电磁理论只有磁流源时：0mmmmmmmmmmDHtBEJtBDJt=?2.矢量电位和标量磁位mmDA=?引入矢量电位：mA?()mmmHj DjA=?()0mmHj A+=?mmmHj A+=?mmmHj A=?引入标量磁位：m22mmmAk AJ+=?22mmmk+=类似可得：0mmAj+=?洛仑兹条件：矢量电位的解为：()d4jk r rmmJeAVrr=?高等电磁理论高等电磁理论eAt=?0At+=?eAtt=?e=?二.赫兹矢量二.赫兹矢量1.电赫兹矢量位定义：已知：得：mmDA=?2()mmmAHjAk=+?可见，由磁荷和磁流产生的电磁场可用矢量电位表示：211()mEjAAAk=+?211()mmHjAAAk=+?由电流源和磁流源共同产生的电磁场可表示为：高等电磁理论高等电磁理论22()eeeBAtEt=?tEH=?11()()eeBtt=?22()eeEttt=?220eeet +=?2eee=?2220eet =?电磁场表示为：在无源区：所以：矢量运算：可见，电赫兹矢量位满足波动方程：高等电磁理论高等电磁理论2eeeE=?电场：mmAt=?mm=?22mmmEtHt=?2220mmt =?mH=?2.磁赫兹矢量位定义：根据对偶原理：磁赫兹磁矢量位也满足波动方程：磁场：高等电磁理论高等电磁理论meemEtHt=+?=+=+0)(0)(2222mekk?=+=+MkPkme?)()(2222ek=?PJ j=?mMJj=?在有源均匀区域中：结论：在时谐场中，无源区域赫兹矢量满足齐次亥姆霍兹方程。在有耗媒质中：其中：（复数）理想介质：高等电磁理论高等电磁理论用分离变量法求上述方程，设=+=+002222HkHEkE?220k+=22222220kxyz+=三.标量波函数三.标量波函数1.在直角坐标系中：根据麦克斯韦方程可导出：将直角坐标系中，三个分量满足的齐次标量Helmholtz方程如下：上式中的 表示，的任一个分量。E?H?称为矢量波动方程或齐次矢量Helmholtz方程。()()()Z xY y Z z=0)()(1)()(1)()(12222222=+kzzZzZyyYyYxxZxZ则：高等电磁理论高等电磁理论常微分方程：2222222221()()1()()1()()xyzd Z xkZ xdxd Y ykY ydyd Z zkZ zdz=亦称为特征方程。其中：称为特征值，且2222xyzkkkk+=,xyzkkk这几个方程形式相同，解的形式也相同，解的形式通常有三角函数、指数函数等。这些解函数称为基本的波函数也称为谐函数。常用 表示，为直角坐标系的标量波函数。)(xkhx)(ykhy)(zkhz()()()kxyzh k x h k y h k z=则：121212(sincos)(sincos)(sincos)kxxyyzzAk xAk xBk yBk yCk zCk z=+121212()()()yyxxzzjk yjk yjk xjk xjk zjk zkAeA eBeB eC eC e=+或：高等电磁理论高等电磁理论(,)(,)()()()xyxyxyzkkx y zC k k h k x h k y h k z=()222xyzj k x k y k zA B C e+=xyzrxayaza=+?0jk re=?则：xxyyzzkk ak ak a=+?称为传播矢量，其单位矢量为传播方向。0111=CBA在电磁波中，选择行波状态时，令传播矢径：则标量Helmholtz方程的通解为：其中：为系数，其大小和波函数的形式选择取决于给定的边界条件。(,)xyC k k高等电磁理论高等电磁理论22222211()0rkrrrrz+=()()()R rZ z=0)()(1)()(1)()(1222222=+kdzzZdzZddrdrrdRrdrdrrR2.圆柱坐标系：设得：222)()(1zkdzzZdzZ=2r0)()()(1)()(22222=+rkkdddrrdRrdrdrRrz将上式代入方程且两边乘得：令：222)(1kdd=0)()()(2222=+rkkkdrrdRrdrdrRrz再代入前式得：令：高等电磁理论高等电磁理论222zrkkk=+=+=+0)(0)(0)()()(22222222ZkdzzEdkddrRkrkdrrdRrdrrzr设可见，和 满足波动方程（谐方程），它们的解用谐函数表示。Z)()2()(+=即：值得注意的是：2是以 为周期的函数。三角函数)sin(n)cos(n和用分离变量法得方程组：R(r)方程为n阶贝塞尔方程，其解用 表示。)(rkBrn)()()(rkNBrkJArkBrnrnrn+=)()()()2(1)1(1rkHBrkHArkBrnrnrn+=其中：或：高等电磁理论高等电磁理论)(rkJrnBesll上式中：为第一类函数，函数，)(rkNrnBesll为第二类)()1(rkHrn为第一类汉克尔函数，)()2(rkHrn为第二类汉克尔函数，当自变量很大时，其渐近公式为：2()cos()24nrrrmJk rk rk r2()sin()24nrrrmNk rk rk r(1)2()rjk rnnrrjHk rj ek r(2)2()rjk rnnrrjHk rj ek rrk r 高等电磁理论高等电磁理论()cos(,)()sinzzjt k zznrnknC n k B k ren=则标量Helmholtz方程的通解为：(,)(,)()()()zznrznkrzC n k B k r h nh k z=或：称为圆柱坐标系的标量波函数。(),(),()nrzB k rh nh k z其中：高等电磁理论高等电磁理论2222222111()(sin)0sinsinrkrrrrr+=()()()R r=2222222sinsin1()(sin)sin0ddRdddrk rRdrdrddd+=2221mdd=（整数，因 为 周期的函数）23.球坐标系：设同理：)(mh其解为谐函数，)sin(m)cos(m或或者二者组合高等电磁理论高等电磁理论0sin)(sinsin1)(122222=+rkmdddddrdRrdrdR222sin)(sinsin1Pmdddd=0)1(2)1(222222=+umPdudududu上式中第二项只是 的函数，则设：cos=u)1(2+=nnP用，代入上式令得：)(uLmn该方程为连带勒让德方程，其解为连带勒让德函数，用表示。高等电磁理论高等电磁理论)(cos)(cos)(21mnmnQCPC+=mnP式中：为第一类连带勒让德函数，mnQ为第二类连带勒让德函数。0)1()(122=+rknndrdRrdrdR)(2)(21krBkrkrbnn+=R函数满足：)(krbn该方程与贝塞尔方程相似，其解为球面贝塞尔函数，以表示：(,)(,)()(cos)()mnnmnrC m n bkr Lh m=所以：)(21krBn+其中：是圆柱贝塞尔函数。称为球坐标系的标量波函数。(),(cos),()mnnbkrLh m其中：高等电磁理论高等电磁理论矢量波函数矢量波函数电磁场满足矢量亥姆霍兹方程，为了直接求解矢量亥姆霍兹方程，引入 矢量波函数。矢量波函数是三个独立矢量，分别用L、M、NL、M、N表示。定义为：()1()LMaNak=?其中：a 为坐标系中的单位常矢量，为构成函数，满足齐次标量Helmholtz方程。220k+=高等电磁理论高等电磁理论222222000Lk LMk MNk N+=+=+=?三个矢量波函数均满足矢量Helmholtz方程：三个矢量波函数具有以下性质：（1）L为无旋场；（2）M和N均为无散场；（3）L、M和N之间两两正交。可见：L、M和N的线性组合可构成矢量Helmholtz方程的完备解，电磁场矢量均可由矢量波函数展开为：()nnnnFa Mb Nc L=+?其中：由边界条件决定。,nnnabc高等电磁理论高等电磁理论洛伦兹规范条件下，矢量磁位满足矢量Helmholtz方程，因此可由 矢量波函数展开为：1()nnnnAa Mb Nc Lj=+?三个矢量波函数可由基本波函数表示：()1()nnnnnnLMaNak=?高等电磁理论高等电磁理论四、格林函数四、格林函数用格林函数求解线性电磁场问题是场论中一个重要方法。1.什么是格林函数？1.什么是格林函数？点源所产生的场为格林函数。在线性媒质中。任意场源分布可以分解为点源的集合，在给定的边界条 件下任意场源分布产生的场等于这些点源产生场的叠加。在不同的坐标下，利用不同的方法建立格林函数。2.标量格林函数2.标量格林函数一般格林函数的源采用单位点源，点源是物理上小体积源缩小到一点，其密度趋于无限大，但其密度对体积的积分为有限值，选择该值为1，就是 单位点源。点源的密度用 函数来描述。高等电磁理论高等电磁理论=VVrVrdVrr01)(?对于任意在 点连续的函数 有：r?)(rf?=VVrVrrfdVrrrf0)()()(?)()(rrqr?=VVrVrqdVr?0)()0rrrrrr=?在电磁场中，点源一般用点电荷或电流元，其密度可表示为：()d()J rI lrr=?函数的性质：高等电磁理论高等电磁理论)()()()(zzyyxxrr=?)()()(1)(zzrr=?)()()(sin1)(2=rrrrr?圆柱坐标：球面坐标：在不同坐标系中，函数的表示式不同。直角坐标：函数具有对称性：()()rrrr=?高等电磁理论高等电磁理论函数的本征展开：11()sin()sin()2nnnxxxxlll=21()1()()mimiiiJkJkQ=2321()2()()()()mimiimirrjk r jk rrajk a=()21()!(cos)(cos)sin2()!mmnnn mnnmPPnm=+=+高等电磁理论高等电磁理论22()()()(1)()()()(2)Srkrf rrrP rn+=+=?其中：为已知源的分布函数，为给定的边界条件。)(rf?)(rP?有界空间的标量格林函数设区域V中源分布已知，其时谐场的定解问题为：，为条件系数。00=时，称为第一类边界条件；0=0时，称为第二类边界条件；00时，称为第三类边界条件。dSnndVVS)()(22=根据标量格林定理：高等电磁理论高等电磁理论),(),(),(22rrrrGkrrG?=+以上边值问题对应的格林函数的边值问题为：(3)0),(),(=+SnrrGrrG?(4)()()(),(),()()(),(22rrrrfrrGrrGrrrrG?+=dVrrGrrrrGdVrfrrGdVrrrrVVV+=),()()(),()(),()()()(22?(1)(,)(3)()G r rr?得：()(,)()(,)()d(,)()dVSrG r rrG r r f rVG r rrSnn=+?r?r?将上式中的 和 交换位置可得：高等电磁理论高等电磁理论),(),(rrGrrG?=()(,)()(,)()d(,)()dVSrG r rrG r rf rVG r rrSnn=+?0),(1=SrrG?11(,)()(,)()()VSG r rrG r rf r dVrdSn=?格林函数具有对称性：所以：a.对第一类边值问题：所以：上式表明：利用第一类格林函数，以及边界上的法向导数，源 分布函数，以及边界上的场量，可以求出区域 V 中的任一点的标量 场。),(1rrG?)(rf?)(r?高等电磁理论高等电磁理论22()()(,)()(,)VSrrG r rf r dVG r rdSn=+?),(2rrG?0),(2=SnrrG?b.第二类边值问题对应的第二类格林函数且：所以：上式表明：利用第二类格林函数，以及边界上的分布函数，源 分布函数，以及边界上场量的法向导数，可以求出区域 V 中的任一 点的标量场。2(,)G r r?)(rf?)(r?0),(1=SrrG?)(0)(41)(dVrrerfrrrjk=?14),(rrerrGrrjk?=当S延伸到无穷远处时，对应于自由空间情况，且所以：自由空间第一类格林函数为高等电磁理论高等电磁理论3.格林函数的建立方法格林函数的建立方法:(1)直接积分法(2)镜像法(3)本征函数展开法(4)傅里叶变换法对半空间的边值问题，如无限大理想导电面上半空间中点源产生的场。该标量格林函数可写为：0(,)(,)(,)G r rG r rG r r=+?),(),(),(22rrrrGkrrG?=+0),(),(=+SnrrGrrG?且满足下列方程：其中：为自由空间格林函数。0(,)G r r?(2)镜像法镜像法高等电磁理论高等电磁理论满足方程：0(,)G r r?2200(,)(,)(,)G r rk G r rr r+=?所以：22(,)(,)0G r rk G r r+=?00(,)(,)(,)(,)SSG r rG r rG r rG r rnn+=+?满足方程(,)G r r?对第一类边界条件：0(,)(,)G r rG r r=?对第二类边界条件：0(,)(,)G r rG r r=?高等电磁理论高等电磁理论例1.求无限大理想导电面上方的垂直电偶极子的矢量磁位。解：如图，无限大理想导电面上方的矢量磁位由实际电偶极子和无限大理想导电面下方的镜像电偶极子产生。rrr矢量磁位的垂直分量对应标量格林函数，由理想导体表面的边界条件：0tE=根据：011,HAEHj=?2222,zzxyAAEEjkx zjky z=得：无限大理想导电面上：0zAn=可见对应于第二类格林函数。高等电磁理论高等电磁理论),(),(0rrGrrG?=),(),(),(002rrGrrGrrG?+=4jk rrjk rrzIleeArrrr=+?所以：高等电磁理论高等电磁理论其中：代表 或解：用矢量位的纵向分量 和 分别代表电流源和磁流源激起的TM波和TE波。根据边界条件：(3)格林函数的本征展开格林函数的本征展开例：在接地矩形导体管的轴线上有均匀时谐源时，可把该源视为无限长Z轴 方向上的线电流或线磁流，或看成无数无限小的电偶极子或磁偶极子沿Z轴 一个个端接起来而组成的单位线源。单位线源单位线源0=SzA0=SmznA22()()0tkr+=?zAmzAzAmzA()r?其中：S为导体壁。已知：和 应满足微分方程zAmzA2()sinsinmnmxnyrabab=?2122)()(+=bnamkmn其本征函数：本征值：高等电磁理论高等电磁理论axmaxmaxxm1sinsin2)(=bynbynbyyn1sinsin2)(=bynbynaxmaxmabrrmn11sinsinsinsin4)(=?)(xx 已知一维 在区间0，a上可展开为傅里叶级数：同理有：所以：2001abmndxdy=012sinsin0amnmnmxnxdxmnaab=本征函数归一化：已知:高等电磁理论高等电磁理论当引入的激励源 时，矢量位分量 满足方程：zJzA22()tzzkAJ+=00(,)(,)(,)abzzA x y zJx y G x y x y dxdy=),(),(),(22rrrrGkrrGt?=+0=Gax,0=by,0=114(,)sinsinsinsinmnmnmxmxnynyG r rAabaabb=?其对应的格林函数应满足：边界条件为：将格林函数展开为：其解为：将上式代入方程得：222)()(1kbnamAmn+=高等电磁理论高等电磁理论4.并矢格林函数4.并矢格林函数电磁场的源通常是矢量源，仅用标量格林函数还不能简单地表示电磁 场，因为一个矢量源可以分解为3个直角坐标分量，每一个直角坐标分量源 可产生一个矢量场，该矢量场又可以分解为3个直角坐标分量。显然，用标 量格林函数和矢量格林函数都不足以反映矢量源和矢量场各分量之间的复 杂关系，为了解决用矢量源直接解决矢量场的问题，现引入“并矢格林函 数”，使电磁场的表达式比较简洁。(1)并矢函数的概念定义：两个矢量 和 并乘得到一个并矢函数，（二阶张量）,其中:称为前元素，称为后元素，称为 的转置。A?B?BAD?=A?B?ABDT?=D?D?高等电磁理论高等电磁理论()C DC ABC AB=?()D CAB CAB C=?TC DDC=?TD CC D=?BACBACDC?)(=)(CBACBACD?=CDDCTT?=)(TTDCCD?=)(点积：前点积：后点积：存在：叉积：前叉积：后叉积：存在：矢量新矢量并矢另一并矢直角坐标系中，并矢的表示及运算zzzzzxzxyxyxyxxxzzyyxxzzyyxxaaBAaaBAaaBAaaBAaBaBaBaAaAaABAD?+=+=.)()(2)运算规则：(2)运算规则：高等电磁理论高等电磁理论用矩阵表示：=zzzyzxyzyyyxxzxyxxzzyzxzzyyyxyzxyxxxDDDDDDDDDBABABABABABABABABAD?zzyyxxaDaDaDD?)()()(+=DaDaDaDzzyyxx?)()()(+=()()()xxxxxyxyzxzyyxyxyyyzyzzzxzxyzyzzzDD aD aD aD aDD aD aD aD aDD aD aD aD a=+=+=+?()()()xxxxxxyyxzzyyyxxyyyyzzzzzxxzyyzzzDaDD aD aD aDaDD aD aD aDaDD aD aD a=+=+=+?如果分别用并矢矩阵中的3个同列标量或3个同行标量组成矢量，并矢就可表示为：其中：或高等电磁理论高等电磁理论zzyyxxaaaaaaI?+=100010001D II DD=?I CC IC=?()()()()()()xyzxyzDDaDaDa=+?单位并矢存在：并矢函数的散度()xyzDIaaaxyz=+=?ID?=当时，zzyyxxaDaDaDD?)()()()()()(+=zzyyxxafafaff?)()()(+=并矢函数的旋度矢量函数的梯度=f?()I=?令，则高等电磁理论高等电磁理论mEHJtHEJt=+=?2222mmJHHJttEJEJtt+=+=?22mmHk HjJJEk EjJJ=+=?22k=(3)自由空间的并矢格林函数(3)自由空间的并矢格林函数矢量波动方程，由广义麦克斯韦尔方程得：当空间仅有电流时，当 只有 分量时，矢量磁位只有 分量，但其电 场有三个坐标分量，是一个矢量，可以记作为：xE?J?xJxA同理：电流产生的场矢量，记为yE?yJzE?zJ电流产生的场矢量，记为高等电磁理论高等电磁理论已知：和 满足方程A?22Ak AJ+=?=+22kAj=?()Aj=?=tAE?121()(1)Ej AjAjAk=+=+?洛仑兹条件：可得：已知：()d4jk r rVJ reAVrr=?021()(1)d4jk r rVjJ reEVkrr=+?在自由空间，电流源和矢量磁位的关系为：所以：()()()()()()jk r rjk r rjk r rjk r rjk r rJ reeeJ rJ rrrrrrreeJ rJ rrrrr=+=?其中：高等电磁理论高等电磁理论00(,)()dVEjG r rJ rV=?),()1(),(020rrGkIrrG?+=JI J=?利用 得：其中：为自由空间的并矢格林函数02021()(1)d41(1)()d4jk r rVjk r rVjJ reEVkrrjeJ rVkrr=+=+?则：()()()d()()dVVJ rrrJ rVrrI J rV=?)(020rrIGkG?=0)(lim00=+GajkGrrr?当不考虑磁流源时，电流密度可以表示为以下形式：自由空间的并矢格林函数满足非齐次亥姆霍兹方程：满足辐射条件：高等电磁理论高等电磁理论2Ek EjJ=?fEaSn?=gEaSn?=其中，为已知函数f?g?有界空间的并矢格林函数在有界空间中用电流源和并矢格林函数可以直接表示电磁场。设在区域V中仅有电流源，在边界S上给出电场的切向分量或磁场的切向分量，则该电场的边值问题可表示为：或)(02rrIGkG?=0=SnGa?0=SnGa?对应的并矢格林函数的边值问题为：或（3）（4）（1）（2）高等电磁理论高等电磁理论()d()dVSPQQPVPQQPS=?应用矢量格林函数定理得)()(rErP?=()(,)Q rG r ra=?()()()()VnSEG aG aE dVEG aG aEa dS=?()d()()dVnnSEG aEG aVaEG aaEG a S=?令：a?其中：为任意矢量。()G aG a=?上式化为：利用（5）高等电磁理论高等电磁理论将(1)和(3)代入(5)中，并利用 函数的性质，和并矢运算得：()()(,)()(,)()(,)VnnSE rjJ rG r rdVaE rG r rjH raG r rdS=+?()(,)()(,)()(,)()VnnSE rjG r rJ rdVG r raE rjG r raH rdS=+?根据格林函数的对称性，及并矢函数前点乘、后点乘得运算规则得：()(,)()(,)()(,)()VnnSH rG r rJ rdVG r raH rjG r raE rdS=+?将给定的边界条件代入上两式中，可得 和。)(rH?)(rE?同理可得：