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2 0 1 2年 第 5 1卷 第 7期 数 学通报 3 3 图形的旋转在解题实践中的探索与思考 赵 生初 许 正川 卢 秀敏。(1 首都 师范大学数学科学学 院 1 0 0 0 4 8；2 重庆市第 2 9中学 4 0 0 0 1 0；3 北京市海淀实验 中学 1 0 0 0 4 8)1 问题 的提 出 全 日制 义 务 教 育 数 学 课 程 标 准(实 验 稿)(以下简 称“课标 ”)明确 规 定 了图形 的旋 转 等 图 形变换的内容 尽管有关旋转的现象在生活中随 处可见，但如何在教学实践中合理、有效地帮助学 生认 识 图形 的旋 转 及 其 性 质，如何 在 解题 实践 中 合理、有 效地：利用 图 形旋 转来 解题，却 是需 要 思考 和探索实践的 下面我们在如何 理解图形旋转及 其性 质 的基 础上 结合 实例 谈谈 如 何在 解题 实 践 中 运用 图形 旋 转 2图形 的旋 转及 其 性质 2 1 如 何理 解 图形 的旋 转 如 图 1，ABC 的 三 个顶 点分 别 在 以 0 为 圆 心 的三个 同 心 圆上，当 A、B、C 的 三 点 分 别 以 0 为 圆 心、逆 时 针 旋 转 后 得 A B C 由 O A O A ，AOB 一 A|OB，OB OB 知 A；A 0B ，于 是 ABA B ；同 理，易 图 1 证AB C A B C 这 样 A B C 可 看 成 是 AB C绕 0 点逆 时 针旋 转 后 得到 的 可见点、线段和 三角形等 图形 的旋转 可以看 成是 以旋 转 中心 为 圆 心 的 圆或 同心 圆上 的点、线 段、三角形等 图形的相对运动 特别地，如 图 1，线 段 O A 绕它的一个端点、三角形AOB等图形绕 它 的一个 顶 点旋 转 时 上述 说 法 依 然 成 立；当旋 转 角为 1 8 0。时，旋转前后 的两个图形关于旋转中心 呈 中心对 称 2 2图形旋 转 的性质 结合 如 图 l和 上 述 分 析 知 在 图形 F 与 它 绕 某 点 旋转 一定 的 角 度 a后 所 形 成 的 图形 F 之 间 具 有 如下 的性 质 1 4：性质 1 任 何一 对 对 应 点 到旋 转 中心 的 距 离 相 等；性质 2 任 何一 对 对 应 点 与旋 转 中心 连 线 所 成 的角彼此相等，都等于旋转角；性质 3 对 应线 段 总相 等；性质 4 对 应角 总 相等 此外，还有 如 下 的 性质 5 图形 F 与 图形 F 之 间 的 对 应 线 段 或 对应 线 段所 在 直线 相 交 所成 的角 中必 有一 个等 于旋 转 角 a(结合 图形 容 易 识 别，如 图 2，对 应 线 段 AB 和 A B 所 在 直线 相 交所 成 的角 图2 中 BDB 一 AO A 一a)如 图 2，由 A0 B A O B 知 O A B 一 O AB，于 是 o、A、D、A 四点共 圆，因此 BDB 一 AO A 3 解 题 实践 与探 索 3 1 性质 的直 接 运用 例 1 (2 0 1 1年安徽省 中考试题 第 2 2题)在 ABC中，AC B一9 0。，ABC一 3 0。，将 AB C 绕顶点 C顺时针旋转，旋转角为 0(0。1 8 0。)，得 到A1 Bl C (1)如 图 3，当 AB C B 时，A B 与 B C交 于 D 证 明：A。C D 是等 边三 角形；全 国教育科学规划 中小学数学教育专项研究课题“中学 数学教学与学生学习心理一致性的调查研究”(GI A1 1 7 0 0 4)成果之一 3 4 数 学通报 2 0 1 2年 第 5 1卷 第 7期 C C B B薹 AAC A 紧 塞BC BS SS S 1 3三C B，和 I 的面积 分 别 为、。求 证：1：2一：；=一 (3)如图5，A C的中 图 6 C 图 7 于是(1)、(2)不 难 证 明(3)由 于 P 是 Rt AA1 B1 C 的 斜 边 A1 B 的 中 点，因此 当 AAB C 1 绕 c点旋 转时，P在 以 c为圆心、c P(一寺口)之 厶 长为半径 的圆上运动，如 图 6；当 E、C、P 三点共 线，且 P在 EC 的 延 长 线 时，EP 之 长 最 大，如 图 0 7，此 时 EP 的 最 大 值=Ec+c P一 口 由 厶 C P A 是等边三角形知此 时AB C绕 C顺 时 针 旋转 1 2 0。例 2(2 0 1 1年辽宁省丹 东市中考第 2 5题)已知：正方形 AB C D(1)如图 8，点 E、F分别在边 AB 和 C D 上，且 AEAF 此 时，线 段 B E、DF的数 量关 系和 位 置关系分别是什么?请直接写出结论(2)如图 9，等腰直角三角形 F AE绕直角顶 D F 图 8 C D 图 9 点 A顺时针旋转 a，当 O。a 9 O。时，连接 B E、DF，此 时(1)中的结 论 是 否 成 立，如 果 成 立，请 证 明；如果不成立，请说明理 由 (3)如图 1 O，等腰直角三角形 F AE绕直 角顶 点A 顺时针旋转 a，当 a 一9 0。时，连接 BE、DF，猜想当 AE与AD满足什么数量关系时，直线 DF 垂直平 分 B E 请直 接 写 出结 论 D E 图 1 0 图 1 1 (4)如 图 l 1，等腰 直 角 三角 形 F AE绕 直 角顶 点 A 顺 时针旋 转 a，当 9 0。口 1 8 0。时，连接 B D、DE、EF、F B得 到 四边形 BD EF，则顺 次 连接 四边形 BDE F各边 中点所组成 的四边形是什 么 特殊 四边 形?请 直 接写 出结论 思路 与 分析 借助 图 8易知 DF=：B E 且 DF上B E 在 图 9 1 1中，虽 等 腰 直 角 三 角 形 AEF绕直角顶点A 旋转 了不同的角度，但 DF=B E、DF上B E依然保持 如 图 1 2 1 4，虽 然 AE F 处 于 不 同 的位 置，但AABE均可看成是ADF绕 A点顺时针旋转 9 O。得 到 的，由性 质 3知 这 两 个 三 角 形 的对 应 边 DF和B E相等，由性质 5知这两条对应边所在直 图 1 2 图 1 3 D C 3 6 数 学通报 2 0 1 2年 第 5 1卷 第 7期 BEHC 为 矩 形，于 是 BC EH，BE CH，且 EHC一 9 0。；又 BE EF，于 是 EF C H；由 EHC一 9 0。和 G 是 1 F F D 的中点知 HG一 F D一 厶 F G；因BC EH，B CC D，故 D E 图 2 4 C H EHC D；又 E F C H，于 是 F H CH，F一 1 4 5。；由 F GD G且 c HG一妄 E Hc一4 5。知 厶 F=GHC；这 样 G F E GHC，于是 EG C G，FGE一 HGC；又 因 FHC一 9 0。，HF HD，F G DG，故HG上 F D，于 是 F G E+E GH一9 0。，从 而 E GC一 HGC+EG H 一 9 O。，因此 EG上C G 其 实还 需说 明 D、B、F共 线，由 于 图 2 1中 的 AB E F是图 1 9中的BE F绕点 B 逆时针旋转 1 8 0。而得 到 的，因此 D、B、F共 线 上 述证 明表 明 G EF绕 G点逆时针旋转 9 0。后与AGC H 重合，由性质 5 可 直接 得 E G 上 C G；同理 图 2 2中 的情形 可 证 现 在我 们 在 图 2 3中作 类 似 于 图 2 2或 图 2 4 的辅助 线：如 图 2 3，过 F作 F H 上 C D 于 H，连接 GH，同理GC Hc AG E F 但 Rt DHF中两直 角 边并 不 相 等，因 此 HG 与 DF 不 垂 直，G CH 不可能是G EF绕 G 点逆时针旋转 9 o。得到的，于是不能用与 图 2 2或 2 4中的方 法来证 明图 2 3 中的 G E上G C 圈 25 下面我们 构造一个 以 C G 为斜 边上 的高 的等腰 直角 三 角形，如图 2 6，将EF G绕 G 点旋 转 1 8 0。，由 G是 DF 的 中 点知 F与 D重合；由 G FGD 及 G E=GE 知 四边 形 EF E D 是 平 行 四 边 形，于 是 DE E 图 2 6 A E D C EF，这 样 C、D、E 三点 共 线 易证 C E=C E ，且 G 是 EE 的 中点，于是 C G上G E 图 2 2和 图 2 4中添加 辅助 线 的方法不 能用 来 证 明图 2 O或图 2 3，但图 2 6中添加辅助线 的方法 用于图 1 9和图 2 1 却一样有效，如图 2 5和图 2 7 这样 图 1 9 2 1中 尽 管 BE F 的 位 置 不 同，但是结论相 同且证明方法一致 另外，如果将本例 中的AB E F旋转到更一般的位置，如 图 2 8 3 1，图 2 2 2 4中添 加辅 助线 的方法 显 然无济 于 事，但 图 2 6 2 8中添 加辅 助线 的方 法却 依然 可行 图 3 0 图 3 1 E 此 外，图 2 5 3 1中 的A C DE 都 可 以看 成 是 AC B E顺时针旋转 9 O。而得到的，于是 E C E 一 9 O。且C E=C E ，又 G 是 E E 的 中 点，因 此 EG上GC 例 6(2 0 1 1年 5月北京 市朝 阳区中考数学 模 拟试 题 第 2 5 题)已知 ABC和ADE 都 是 等 腰 直角 三 角 形，ABC一 ADE一9 0。，M 是 C E 的 中点，连接 B M (1)如 图 3 2，当 D 在 AB 上，连 接 DM，并 延 长 DM 交 BC于点 N，BD 与 B M 的数量关系是 一c 图 2 7 图 3 2 图 3 3 2 0 1 2年 第 5 1卷 第 7期 数 学 通报 3 7 (2)如 图 3 3，当 D 不 在 AB 上 时，(1)中 结 论 还成 立 吗?给 出你 的结论 并 证 明 思路与分析如图 3 2，借助观察或测量不难 发现 ABD M：是以 M 为直 角 顶点 的 等腰 直角 三 角 形，因此 BD=2 B M 借 助直 观 不 难 发 现 M 既 是 E C，又 是 DN 的 中点 若 M 是 D ，的 中点，则AMC N 与AME D 关 于 M 成 中心对 称，这 样 NC所 在 直线 与 DE 所 在直 线平 行 反 过来，若 NC所在 直 线 与 DE 所 在 直线 平 行，则 MC N 与 MED 关 于 M 成 中 心 对称，M 必 是 DN 的 中点 这 样 确 认 NC DE 就 是确 认 B D 一 2 BM 的 关 键而 由 E DA 一 ABC=9 0。知 BC E D，即 NC DE成 立 此 外 还 需 确 认 B D B N因 BC E D 时 MCN 与 A_IV I E D 关 于 M 成 中 心 对 称，故 NC=DE，而 DEAD，于 是NC AD，又 BC B A，因 而 BD=B N 成立 这样 当 BDBN 且 M 是 DN 的 1 中点 时有 BM!上DN，DB M 一 ABC一4 5。，厶 因此 BD一 2 B M (1)是就 D在 AB 上 的情 形 讨 论 的，(2)则 将 这种 特殊 推 广到 一般，即不 论 D 位 于何 处，(1)中 结论 都成 立 如 图 3 4，(1)的解 答 过 程 提 醒 我 们：作AE MD关 于 M 的中心对称 图形 C MD ，并 连接 BD (D 也 可 能 在 M N 的 延 长 线 上，如 图 3 5)，于 是(D 一 DE，而DE AD，因 此 CD 一 AD 同 时，借 助 观 察 不 难 发 现 ABC D 可 看 作 是 AB D 绕 B点逆 时 针旋 转 9 0。得 到 的，但 如 何 确 认?由 B A=B C且 AD=C D 知 只要证 明 B AD=BCD 即可 如果 B C D 是 AAB D 绕 B 点 逆 时 针 旋 转 9 O。得到 的，那么 AD 和 C D 所 在 直线 间 的夹 角 也 应 该 是 9 0。如 图 3 6或 图 3 7，延 长 AD，交 C D 的 延 长 线 于 F，只需 确认 AF C=9 0。即可 图 3 6 图 3 7 事 实上，因E MD 和 C MD 关 于 M 成 中心 对 称，故 DE C D ，于 是 A F C一 E DF一 9 0。，AF C=A B C一9 O。，因此 A、B、F、C四点 共 圆，于是 BAF一 BCF，即 B AD一 BC D 于 是 由图形 旋 转 的性 质 知 DB D 一 AB C 一 9 0。，B DB D，又 M 是 DD 的 中 点，因此 B D 一 2 B M 成 立 3 4 图形旋 转 更深 刻 的运 用 例 7(2 0 1 1年 北 京 市 海 淀 区 中考 模 拟 数 学 试题 第 2 5 题(2)如 图 3 8，在 AB C 中，ABC一 3 0。，AB 一 3，BC一 4，以 AC 为 边 在 AABC的 外 部 作 等 边 三 角形 AC D 求 BD 的长 思 路 与 分 析 借 助 已知 条 件 虽 然 等 边 三 角B 形 AC D 的 边 长 可 求，但 图3 8 由于 B AC和 AC B 的 度 数 不 是 特 殊 值，限 于 初 中 知 识 的 缺 乏，不 能 通 过 AB D 或 BC D 求 B D 图 3 9 D 图 4 O D 由于AC D是等边三角形，因此可借助图形 的旋转 来 思 考：如 图 3 9，以 A 为旋 转 中 心，将 AAB D绕 A 点顺 时针 旋转 6 O。，得AAC B ，AD 与 AC重 合 于 是 B AB 一 DAC一6 0。，B C BD，AB 一AB一 3，因此 AAB B 为 等 边 三 角 形，于是 ABB =6 0。，C B B 一9 0。，从 而 B DB C 一 5 如 图 4 O，以 A 为旋 转 中心 时，将 AAB C绕 A 点逆时针旋转 6 O。得ADB ；如 图 4 1 4 4，分别 以 C、D 为旋转 中心，顺时针或逆时针 旋转 6 O。也 可求 引9 3 8 数 学通 报 2 0 1 2年 第 5 1卷 第 7期、J ，4、I，、，图 4 2 图 4 3 图 4 4 D D 4反思 与收 获 4 1 图形旋 转在解 题 实践 中 的三种 不 同情形 一是明确(如例 1)或易发 现(如例 2)图中存 在的旋转关系，这时充分利用 图形旋转的性质是 关键，性 质 5特别 要重 视；二是 不仅需 要 凭经 验 去 发现，而且需要根据已知条件证 明图中确实存 在 所“发现”的旋 转关系(如例 3)，这时如何 寻找条 件证 明旋 转 关 系 的存 在 是 关 键；三 是 需 要 适 当 添 加 辅助 线 才 能 揭 示 图 中 存 在 的 旋 转 关 系，如 例 4 7，这种情 形 最难，且 常 见，图形 旋 转 在 这 时 才 能 真正“发威”，既是 挑 战，又是 追求 4 2图形 旋转 解题 的本 质分 析 为什么借助图形旋转能有效求解?例 3中借 C P B与 C AM 之 间 的旋 转 把 已 知 长度 的 P A 和 P B 集 中 到 C P M 中，使 得 梯 形 B P C M 的下 底和高可求；例 4中AD AB绕 D 点逆时针旋转 9 O。后使得 C F、AB 和 AF 间的数 量关 系呈现 出 来，指 明 了进 一 步 证 明 的方 向；例 5中 图 2 5 3 1 中借助EF G绕 G的中心对称或AC B E绕 C点 逆时针旋转 9 0。的旋转把 E G和 C G 的位置关 系、数量 关 系都 呈 现 在 等 腰 直 角 三 角 形 C E E 中 了；例 6中借助 E DM 绕 M 的中心对称和AB D 绕 B 点逆 时针旋转 9 0。的图形旋 转使得 BD 和 B M 之间的位置关 系、数 量关 系明确呈 现在等腰 直角三角形 BD D 中；例 7中图 3 9 4 4中分别借 助绕 A、C、D顺 时针 或逆时针旋转 6 O。的图形旋 转把 原来 分散 在不 同三 角形 中 的两个 已知 度数 的 角和两条 已知长度的线段及一条求长的线段同时 集 中于一 个直 角 三角形 中 可见 借助 图形 的旋 转不 仅实 现 了线段 或 角 的 位 置转 化，而 且 同时实 现 了线 段 或角 的位 置 重组，把 原本 分散 的条 件 集 中到 一 条 线 段(如 例 4)，一 个 三角 形(例 5、例 6、例 7)甚 至一 个 四边 形 中(例 3)，进 而借助 重 组 后 图形 的 特征 或 性 质 成 功 勾 通 已知条件与求解结论之 间的联系最终实 现求解 这 是 图形旋 转 的本质 4 3图形 旋转 的线 索分 析 哪些线索提醒可能借助图形旋转能实现图形 元 素 的位 置转 化 或 重 组 呢?一 般来 说，图 形 中有 共点 的等 线段 时(常 以等 腰三 角形、等腰 直 角 三角 形，等边三角形或正方形等形式出现)可能需要借 助以这个公共点为旋转中心的图形旋转来实现问 题的求解，如例 4 7 特别地，涉及线段的中点时 可能 需要 构造 以此 中点 为 旋 转 中 心 的 中心 对 称，如例 5 6 另外，如 例 6，当需 要 确 认 绕 某 点 的两 个三角形之间旋转 时，可借助寻找或构造 四点共 圆，利用 圆内接 四 边形 的性 质 来 实 现 角度 之 间 的 转化 5 结 束语 把图形的旋转等图形变换作为几何论证 的主 要 工具 是变换 观 点下 的欧 氏几何 的本质，“几 何 变 换的优点是明显的，它能使千变万化 的几何论证 具 有一 定 的统一 性 和规律 性”2 借 助 图形旋 转 的 观点认 识几 何或 几何 问题 能使 得我 们在 动手 操 作 的过程 中获 得对 图形 元素 及位 置关 系 与数量 关 系 的深刻 认识，变 被动解 题 为 主动操 作尝 试，既 有解 题经 验 的积 累，又有 客观 规律 的本 质把 握 参考文献 1 中华人 民共和国教育部 全 日制义务教育数学课 程标准(实验 稿)M 北京：北京师范大学出版社，2 0 0 1 丁尔随 现代数 学课程论 M 南京：江苏教育 出版社，1 9 9 7 梅 向 明 平 面几 何 及 变 换 M 北 京：北 京 师 范 学 院 出版 社，1 9 8 8 蒋声 几何变换F M 上海：上海教育出版社，1 9 8 1 王敬庚 几何变换漫谈I M 长沙：湖南教育出版社，2 0 0 0 亚格龙 几何变换(第一册)I M 北京：北京大学出版社，1 9 8 8 胡杞，周春荔 初等几何研 究基础教程F M 北京：北京师范大 学 出版社，1 9 9 8 3、5、