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曲线积分与曲面积分
一、选择
1．设向量场A=xeyzi+yezxj+zexyk,则A在点M(1，－1，0)处的旋度rotA｜M是
(A). {1,1,1}. (B). {0,－1,1} .(C). {1,－1,0}. (D). {1,0,－1}.
2．设是某二元函数的全微分，则m=
A.0; B.1; C.2; D.3
3.若是某二元函数的全微分，则a,b的并系是
A.a－b=0; B.a+b=0; C.a－b=1; D.a+b=1.
4.曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系：

5.设∑为平面 在第一卦限的部分，则

6设L是xoy平面上的一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界。用L上的点M1，M2，…Mn－1把L分成n个小段。设第i个小段的长度为ΔSi·(ζi,ηi)为第i小段上的一点，i=1,2,…,n。则函数f(x,y)在曲线L上的对弧长的曲线积分
(A) (B)
(C) ,且极限值与L的分法无关，与(ξi,ηi)的取法无关。
(D) ，其中ΔSi必须有相等的长度。其中入为ΔSi的长度的最大值。
4设∑为柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的第一卦限部分，则
（A）； （B）；
（C）； （D）

二、填空
1．设f(x)有连续导数，L是单连通域上任意简单闭曲线，且 则f(x)=_______.
2．设曲线段的参数方程为x=φ(t), y=ψ(t),其中α≤t≤β。如果曲线段上的点(x,y)处线密度函数为ρ(x,y)，则曲线段的质量的计算公式为__________.
3．设有一力场，其场力的大小与作用点到Z轴的距离成反比，方向垂直于Z轴并指向Z轴。若某质点沿着一条光滑曲线C从点A移动到点B，则此时场力所作的功的计算表达式为______
4. 柱面∑以xoy平面上的线段L为准线，母线平行于oz轴，则∑介于平面z=0及曲面z=1+x2+y2之间的部分的面积可用曲线积分表示为_________.

三、解答
1求向量yzi+xzj+xyk穿过圆柱体x2+y2≤R2,0≤z≤H的全表面∑的外侧的通量。
2计算曲线积分 式中L是正向圆周x2+y2=1.
3计算,其中r是螺线：
x=tcost, y=tsint, z=t. (0≤t≤t0)
4计算其中∑是球面x2+y2+z2=R2 , R为正数，α，β和γ为实数。
5. 设 n 为闭曲线C的朝外的法向量，D为C所围成的闭区域，函数u(x,y)具有二阶连续偏导数。试证明
6．试证：若简单闭曲线L不通过y轴(x≠0),则所围面积为
7．试求在x≥0部分由曲线y=sin2x及y=cos4x所围第一块封闭图形的面积。
8．求曲面z=x2+y2被曲面 所截下的那部分曲面∑的面积S。
9计算 ，其中L是逆时针方向的闭曲线，其方程是x4+y4=x2+y2. (x2+y2≠0).
10 计算其中∑是由曲面 与平面z=0所围立体Ω的表面的外侧，a,b,c都是正数。
11 试验证：其中P为任意一条有向的光滑封闭曲线。

一． 选择 C A BBBCB
二、填空1、 x2+c 2
二． 3
6、

4．

三解答1、0（高斯公式）2、0（格林公式）
3
2、
由对称性，

5.略 6

解答下列各题 （本大题 8 分 ）
sin2x=cos4x x≥0得 5

解答下列各题 （本大题 7 分 ）

∑在xoy面上的投影域为D：x2+y2≤1.
面积元素

9

10
由高斯公式
（ * ） 5
10

（ * ）
= 7

=
10
11．