第五章：数列.doc

五年高考真题分类汇编：数列
一.选择题
1.（2015重庆高考，理2）在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）
A、-1 B、0 C、1 D、6
【解析】选B. 由等差数列的性质得.
2.(2015福建高考，理8)若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】选D. 由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以．
3.(2015北京高考，理6)设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解析】选C．先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则.
4.(2015浙江高考，理3)已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B.

5.（2015新课标全国卷I，文7）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】选B. ∵公差，，∴，解得=，∴.
6.（2014·辽宁高考文科·Ｔ9）设等差数列的公差为,若数列为递减数列,则

【解题提示】 依照递减数列的定义，得，再由指数函数性质得
结合等差数列的定义即可解决问题．
【解析】选D.
由于数列为递减数列，得，再由指数函数性质得，
由等差数列的公差为知，，所以

7.（2014·福建高考理科·Ｔ3）等差数列的前项和，若，则( )

【解题指南】利用公式，联系基本量建立方程求解．
【解析】C.由题，，解得，所以．
8.（2014·辽宁高考理科·Ｔ8）设等差数列的公差为,若数列为递减数列,则

【解题提示】 依照递减数列的定义，得，再由指数函数性质得
结合等差数列的定义即可解决问题．
【解析】选C.
由于数列为递减数列，得，再由指数函数性质得，
由等差数列的公差为知，，所以

9. （2014·辽宁高考文科·Ｔ9）设等差数列的公差为,若数列为递减数列,则

【解题提示】 依照递减数列的定义，得，再由指数函数性质得
结合等差数列的定义即可解决问题．
【解析】选D.由于数列为递减数列，得，再由指数函数性质得，由等差数列的公差为知，，
所以
10．（2014·重庆高考文科·Ｔ2）在等差数列中, 则 （ ）
A. B. C. D.
【解题提示】根据题设条件求出公差,进而可求出的值.
【解析】选B.设公差为,因为所以
解得 所以
11. （2014·天津高考文科·Ｔ5）设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）
A.2 B.-2 C. D.
【解析】选D.因为成等比数列，所以即，解得
12. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T5)等差数列的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则的前n项和Sn= (　　)
A.n(n+1) B.n(n-1)
C. D.
【解题提示】利用a2,a4,a8成等比数列求得公差,然后利用等差数列求和公式求和.
【解析】选A.因为d=2,a2,a4,a8成等比,所以=a2a8,即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,a1=2.所以利用等差数列的求和公式可求得Sn=n(n+1).
13.（2013·福建高考理）已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是 (　　)
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2
D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm
【解析】选C　本题考查等比数列的定义与通项公式、等差数列前n项和的公式等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、公式应用能力和运算求解能力．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，所以cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1＝aqm(n－1)＋m(n－1)＋1＋…＋m(n－1)＋m－1＝aqm2(n－1)＋＝aqm2(n－1)＋，因为＝＝qm2，所以数列{cn}为等比数列，公比为qm2.
14．（2013·辽宁高考理）下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为 (　　)
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
【解析】选D　本题主要考查等差数列的通项公式和数列单调性的判断，意在以数列为载体，考查考生对一次函数、二次函数和反比例函数的掌握情况．设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．
15．（2013·新课标Ⅰ高考理）设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝ (　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】选C　本题考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式，意在考查考生通过等差数列的定义、通项公式、前n项和公式求解基本量的能力．根据已知条件，得到am和am＋1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，
由
得解得选C.
16．（2013·新课标Ⅰ高考理）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则 (　　)
A．{Sn}为递减数列
B.{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
【解析】选B　本题考查三角形面积公式和归纳推理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，对考生的归纳推理能力、逻辑思维能力要求较高．已知b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a2＝a1，故b2＝＝c1＋b1＜b1，c2＝＝b1＋c1＞c1，b2＋c2＝a1＋＝2a1，b2－c2＝＜0，即b2＜c2，b2c2＝·＝(b1＋c1)2＋b1c1＞b1c1.又a3＝a2＝a1，所以b3＝＝c2＋b2＜b2，c3＝＝b2＋c2＞c2，b3＋c3＝＋＝2a2＝2a1，b3－c3＝c2＋b2－＝＞0，即b3＞c3，b3c3＝＝(b2＋c2)2＋b2c2＞b2c2＞b1c1.又△AnBnCn的面积为Sn＝ ＝ ，其中p＝(an＋bn＋cn)，p(p－an)和p2－(bn＋cn)p都为定值，bncn逐渐递增，所以数列{Sn}为递增数列，选择B.
17．（2013·新课标Ⅱ高考理）等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3 ＝ a2 ＋10a1 ，a5＝9，则a1＝ (　　)
A. B．－ C. D．－
【解析】选C　本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力．由题知q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝，故选C.
18．（2013·江西高考理）等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于 (　　)
A．－24 B．0 C．12 D．24
【解析】选A　本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质，意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况．由等比数列的前三项为x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x＝－3，公比q＝＝2，所以第四项为(6x＋6)×q＝－24.
19．（2013·大纲卷高考理）已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于 (　　)
A．－6(1－3－10) B.(1－310)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
【解析】选C　本题考查等比数列的定义和前n项和公式．由3an＋1＋an＝0得an＋1＝－an，所以{an}为等比数列，公比为－，由a2＝－得a1＝4，所以由等比数列前n项和公式得S10＝3(1－3－10)，故选C.
20．（2013·安徽高考理）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝ (　　)
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
【解析】选A　本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算，意在考查考生的运算求解能力．
根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.
21．（2013·大纲卷高考理）已知数列{an}满足 3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于 (　　)
A．－6(1－3－10) B.(1－310) C．3(1－3－10) D. 3(1＋3－10)
【解析】选C　本题主要考查等比数列的判定、等比数列的前n项和公式．因为3an＋1＋an＝0，即＝－，又a2＝－，所以数列{an}是以a1＝4为首项，q＝－为公比的等比数列，所以S10＝＝31－10＝3(1－3－10)．
22．（2013·新课标Ⅰ高考理）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，
则 (　　)
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
【解析】选D　本题主要考查等比数列的前n项和公式，对基本计算能力有一定要求．由等比数列前n项和公式Sn＝，代入数据可得Sn＝3－2an.
23．（2013·辽宁高考文）下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为 (　　)
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
【解析】选D　本题主要考查等差数列的通项公式和数列单调性的判断，意在以数列为载体，考查考生对一次函数、二次函数和反比例函数的掌握情况．设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．　
24．（2012·重庆高考理）在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝ (　　)
A．7　　　　　　　　　 B．15 C．20 D．25
【解析】选B 数列{an}的公差d＝＝2，则a1＝－1，a5＝7，可得S5＝15.
25．（2012·辽宁高考理）在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11
＝ ( 　　)
A．58 B．88 C．143 D．176
【解析】选B 因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88.
26．（2012·四川高考理）设函数f(x)＝2x－cos x，{an}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝ (　　)
A．0 B.π2 C.π2 D.π2
【解析】选D 设g(x)＝2x＋sin x，由已知等式得g(a1－)＋g(a2－)＋…＋g(a5－)＝0，则必有a3－＝0，即a3＝(否则若a3－>0，则有(a1－)＋(a5－)＝(a2－)＋(a4－)＝2(a3－)>0，注意到g(x)是递增的奇函数，g(a3－)>0，g(a1－)>g[－(a5－)]＝－g(a5－)，g(a1－)＋g(a5－)>0，同理g(a2－)＋g(a4－)>0，g(a1－)＋g(a2－)＋…＋g(a5－)>0，这与“g(a1－)＋g(a2－)＋…＋g(a5－)＝0”相矛盾，因此a3－>0不可能；同理a3－<0也不可能)；又{an}是公差为的等差数列，a1＋2×＝，a1＝，a5＝，f(a3)＝f()＝π－cos ＝π，[f(a3)]2－a1a5＝π2.
27．（2012·上海高考理）设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an.在S1，S2，…，S100中，正数的个数是 (　　)
A．25 B．50 C．75 D．100
【解析】选D 由数列通项可知，当1≤n≤25，n∈N*时，an≥0，当26≤n≤50，n∈N*时，an≤0，因为a1＋a26>0，a2＋a27>0，…，所以S1，S2，…，S50都是正数；当51≤n≤100，
n∈N*时，同理S51，S52，…，S100也都是正数，所以正数的个数是100.
28．（2012·大纲卷高考理）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A 设数列{an}的公差为d，则a1＋4d＝5，S5＝5a1＋d＝15，得d＝1，a1＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n，所以＝＝－，所以S100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
29．（2012·湖北高考理）定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
①f(x)＝x2; ②f(x)＝2x；
③f(x)＝； ④f(x)＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 (　　)
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解析】选C 设等比数列{an}的公比为q，则{a}的公比为q2，{ }的公比为，其余的数列不是等比数列．
30．（2012·浙江高考理）设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是 (　　)
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0
D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
【解析】选C A、B、D均正确，对于C，若首项为－1，d＝2时就不成立．
31．（2012·福建高考理）等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B 在等差数列{an}中，∵a1＋a5＝10，∴2a3＝10，∴a3＝5，又a4＝7，∴所求的公差为2.
32．（2012·安徽高考理）公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝ (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】选B 由题意可知a3a11＝a＝16，因为{an}为正项等比数列，所以a7＝4，所以log2a10＝log2(a7·23)＝log225＝5.
33．（2012·新课标高考理）已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10
＝ (　　)
A．7 B．5 C．－5 D．－7
【解析】选D 设数列{an}的公比为q，由
得或所以或
所以或所以a1＋a10＝－7.
34．（2012·湖北高考文）定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 (　　)
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解析】选C 根据“保等比数列函数”的概念逐个判断．若{an}是等比数列，则{a}，{}也是等比数列，{2an}不一定是等比数列，{ln|an|}不一定是等比数列．
35．（2012·四川高考文）设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝ (　　)
A．0 B．7 C．14 D．21
【解析】选D ∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋(a1－3)＋(a2－3)＋…＋(a7－3)＋14＝14，
∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋(a1－3)＋…＋(a7－3)＝0.
∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋7(a4－3)＝0.
∵(a1－3)3＋(a7－3)3＝(a1＋a7－6)[(a1－3)2＋(a7－3)2－(a1－3)(a7－3)]＝2(a4－3)[(a4－3)2＋27d2]，其中该数列公差为d.
同理(a2－3)3＋(a6－3)3＝2(a4－3)[(a4－3)2＋12d2]，
(a3－3)3＋(a5－3)3＝2(a4－3)[(a4－3)2＋3d2]．
∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋7(a4－3)
＝2(a4－3)[(a4－3)2＋27d2]＋2(a4－3)[(a4－3)2＋12d2]＋2(a4－3)[(a4－3)3＋3d2]＋(a4－3)3＋7(a4－3)
＝(a4－3)[7(a4－3)2＋84d2＋7]＝0.
∵d≠0，∴7(a4－3)2＋84d2＋7≠0.
∴a4－3＝0，a4＝3.
∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×3＝21.
36．（2012·辽宁高考文）在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝ (　　)
A．12 B．16 C．20 D．24
【解析】选B 因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
37．（2012·福建高考文）数列{an}的通项公式an＝ncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等
于 (　　)
A．1 006 B．2 012 C．503 D．0
【解析】选A 由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2 012＝503×2＝1 006.
38．（2012·安徽高考文）公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5
＝ (　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】选A 因为a3a11＝a，又数列{an}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，求得a5＝1.
39．（2012·北京高考文）已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是 (　　)
A．a1＋a3≥2a2 B．a＋a≥2a
C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3>a1，则a4>a2
【解析】选B 设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a＋a≥2a1a3＝2a.
40．（2012·大纲卷高考文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)
A．2n－1 B.n－1 C.n－1 D.
【解析】选B 令n＝1，则得a2＝，故S2＝1＋＝，然而22－1＝2≠，故选项A错．()2－1＝.()2－1＝≠，故选项C错.＝≠，故选项D错．
41．（2012·新课标高考文）数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和
为 (　　)
A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830
【解析】选D 不妨令a1＝1，根据题意，得a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以当n为奇数时，an＝1，当n为偶数时构成以a2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以前60项和为S60＝30＋2×30＋×4＝1 830.
42．（2011·大纲卷高考）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝ (　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
【解析】选D 依题意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k＝5，选D.
43．（2011·江西高考）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10
＝ (　　)
A．1 B．9 C．10 D．55
【解析】选A 由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10⇒a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.
44．（2011·四川高考）数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝ (　　)
A．0 B．3 C．8 D．11
【解析】选B 因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，
故公差d＝＝2.于是b1＝－6，
且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8，
所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.
45．（2011·天津高考）已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为 (　　)
A．－110 B．－90 C．90 D．110
【解析】选D 因为a7是a3与a9的等比中项，所以a＝a3a9，又因为公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，
通项公式为an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，
所以S10＝＝5(20＋2)＝110.
二.填空题
46.（2015安徽高考，理14）已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .
【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和
.
【答案】
47.（2015新课标全国卷II，理16）设是数列的前n项和，且，，则________．
【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
【答案】
48.（2015广东高考，理10）在等差数列中，若，则= .
【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．
【答案】．
49.（2015江苏高考，11）数列满足，且（），则数列的前10项和为

【答案】
50.（2015陕西高考，文13）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________
【解析】若这组数有个，则，，又，所以；
若这组数有个，则，，又，所以；
【答案】5
51.（2015广东高考，文13）若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．
【解析】因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．
【答案】
52.（2015福建高考，文16）若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________．
【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以．
【答案】9
53.（2015浙江高考，文10）已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ．
【解析】由题可得，，故有，又因为，即，所以.
【答案】
54.（2015新课标全国卷I，文13）数列中为的前n项和，若，则 .
【解析】∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，∴，∴n=6.
【答案】6
55.（2015安徽高考，文13）已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 .
【解析】∵时，
∴为首项，为公差的等差数列
∴
【答案】27
56. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T16)数列{an}满足an+1=,a8=2,
则a1=　　　　.
【解题提示】利用递推关系式逐步推导,可直接求得a1.
【解析】由an+1=,可得an=1-,又a8=2,故a7=,……依次下去得a1=.
答案:
57.已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2014(x)的表达式为　　　　.
【解题指南】根据已知化简整理可得数列为等差数列,利用等差数列的通项公式可推得f2014(x)的表达式.
【解析】由fn+1(x)=f(fn(x))⇒fn+1(x)=
⇒=+1,
所以数列是以为首项,1为公差的等差数列,
故=+(2014-1)=+2014=,
所以f2014(x)=.
答案:
58.(2014·广东高考文科·T13)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=　　　　.
【解析】方法一:各项均为正数的等比数列{an}中a1a5=a2a4==4,则a1a2a3a4a5=25,
log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log225=5.
方法二:各项均为正数的等比数列{an}中a1a5=a2a4==4,
设log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=S,
则log2a5+log2a4+log2a3+log2a2+log2a1=S,2S=5log2(a1a5)=10,S=5.
答案:5
59.(2014·广东高考理科)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=　　　　.
【解析】各项均为正数的等比数列{an}中a10a11=a9a12=…=a1a20,
则a1a20=e5,
lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.
方法二:各项均为正数的等比数列{an}中a10a11=a9a12=…=a1a20,
则a1a20=e5,
设lna1+lna2+…+lna20=S,
则lna20+lna19+…+lna1=S,
2S=20ln(a1a20)=100,S=50.
答案:50
【误区警示】易算错项数和幂次,要充分利用等比数列的性质.
60. （2014·天津高考理科·Ｔ11）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为__________.
【解析】因为所以，
即，解得.
【答案】
61.（2014·安徽高考理科·Ｔ12）数列是等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则______.
【解题提示】 求出等差数列的公差即可用表示出等比数列的三项，即可计算出公比。
【解析】设等差数列的公差为d,则，即，解得d=-1,所以，，所以.
答案：1
62．（2013·湖南高考理）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
【解析】本小题主要考查数列的递推关系、等比数列的求和等知识，考查推理论证能力及分类讨论思想．
(1)当n＝1时，S1＝(－1)a1－，得a1＝－.
当n≥2时，Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)－.当n为偶数时，Sn－1＝－，当n为奇数时