第五章：数列.doc

五年高考真题分类汇编：数列一.选择题1.（2015重庆高考，理2）在等差数列中，若=4，=2，则=（）A、-1 B、0 C、1 D、6【解析】选B. 由等差数列的性质得.2.(2015福建高考，理8)若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【解析】选D. 由韦达定理得，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，解得，；当是等差中项时，解得，综上所述，所以3.(2015北京高考，理6)设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【解析】选C先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则.4.(2015浙江高考，理3)已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B.5.（2015新课标全国卷I，文7）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ） （A） （B） （C） （D）【解析】选B. 公差，解得=，.6.（2014辽宁高考文科9）设等差数列的公差为,若数列为递减数列,则【解题提示】 依照递减数列的定义，得，再由指数函数性质得结合等差数列的定义即可解决问题【解析】选D.由于数列为递减数列，得，再由指数函数性质得，由等差数列的公差为知，所以7.（2014福建高考理科3）等差数列的前项和，若，则( ) 【解题指南】利用公式，联系基本量建立方程求解【解析】C.由题，解得，所以8.（2014辽宁高考理科8）设等差数列的公差为,若数列为递减数列,则【解题提示】 依照递减数列的定义，得，再由指数函数性质得结合等差数列的定义即可解决问题【解析】选C.由于数列为递减数列，得，再由指数函数性质得，由等差数列的公差为知，所以9. （2014辽宁高考文科9）设等差数列的公差为,若数列为递减数列,则【解题提示】 依照递减数列的定义，得，再由指数函数性质得结合等差数列的定义即可解决问题【解析】选D.由于数列为递减数列，得，再由指数函数性质得，由等差数列的公差为知，所以 10（2014重庆高考文科2）在等差数列中, 则 （ ）A. B. C. D.【解题提示】根据题设条件求出公差,进而可求出的值.【解析】选B.设公差为,因为所以解得 所以11. （2014天津高考文科5）设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）A.2 B.-2 C. D.【解析】选D.因为成等比数列，所以即，解得12. (2014新课标全国卷高考文科数学T5)等差数列的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则的前n项和Sn= ()A.n(n+1) B.n(n-1) C. D. 【解题提示】利用a2,a4,a8成等比数列求得公差,然后利用等差数列求和公式求和.【解析】选A.因为d=2,a2,a4,a8成等比,所以=a2a8,即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,a1=2.所以利用等差数列的求和公式可求得Sn=n(n+1).13.（2013福建高考理）已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是 ()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm【解析】选C本题考查等比数列的定义与通项公式、等差数列前n项和的公式等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、公式应用能力和运算求解能力等比数列an的通项公式ana1qn1，所以cnam(n1)1am(n1)2am(n1)ma1qm(n1)a1qm(n1)1a1qm(n1)m1aqm(n1)m(n1)1m(n1)m1aqm2(n1)aqm2(n1)，因为qm2，所以数列cn为等比数列，公比为qm2.14（2013辽宁高考理）下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为 ()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p4【解析】选D本题主要考查等差数列的通项公式和数列单调性的判断，意在以数列为载体，考查考生对一次函数、二次函数和反比例函数的掌握情况设ana1(n1)ddna1d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增数列，所以p2为假命题；若ann1，则满足已知，但1是递减数列，所以p3为假命题；设an3nd4dna1d，它是递增数列，所以p4为真命题15（2013新课标高考理）设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m ()A3 B4 C5 D6【解析】选C本题考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式，意在考查考生通过等差数列的定义、通项公式、前n项和公式求解基本量的能力根据已知条件，得到am和am1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解由Sm12，Sm0，Sm13，得amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差数列的公差为dam1am321， 由得解得选C.16（2013新课标高考理）设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n1,2,3，.若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则 ()ASn为递减数列B.Sn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列【解析】选B本题考查三角形面积公式和归纳推理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，对考生的归纳推理能力、逻辑思维能力要求较高已知b1c1，b1c12a1，a2a1，故b2c1b1b1，c2b1c1c1，b2c2a12a1，b2c20，即b2c2，b2c2(b1c1)2b1c1b1c1.又a3a2a1，所以b3c2b2b2，c3b2c2c2，b3c32a22a1，b3c3c2b20，即b3c3，b3c3(b2c2)2b2c2b2c2b1c1.又AnBnCn的面积为Sn ，其中p(anbncn)，p(pan)和p2(bncn)p都为定值，bncn逐渐递增，所以数列Sn为递增数列，选择B.17（2013新课标高考理）等比数列an的前n项和为Sn.已知S3 a2 10a1 ，a59，则a1 () A. B C. D 【解析】选C本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力由题知q1，则S3a1q10a1，得q29，又a5a1q49，则a1，故选C. 18（2013江西高考理）等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于 ()A24 B0 C12 D24【解析】选A本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质，意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况由等比数列的前三项为x,3x3,6x6，可得(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(此时3x30，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x3，公比q2，所以第四项为(6x6)q24.19（2013大纲卷高考理）已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于 ()A6(1310) B.(1310)C3(1310) D3(1310)【解析】选C本题考查等比数列的定义和前n项和公式由3an1an0得an1an，所以an为等比数列，公比为，由a2得a14，所以由等比数列前n项和公式得S103(1310)，故选C.20（2013安徽高考理）设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9 ()A6 B4 C2 D2【解析】选A本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算，意在考查考生的运算求解能力根据等差数列的定义和性质可得，S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84，a96.21（2013大纲卷高考理）已知数列an满足 3an1an0，a2，则an的前10项和等于 ()A6(1310) B.(1310) C3(1310) D. 3(1310)【解析】选C本题主要考查等比数列的判定、等比数列的前n项和公式因为3an1an0，即，又a2，所以数列an是以a14为首项，q为公比的等比数列，所以S1031103(1310)22（2013新课标高考理）设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则 ()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an【解析】选D本题主要考查等比数列的前n项和公式，对基本计算能力有一定要求由等比数列前n项和公式Sn，代入数据可得Sn32an.23（2013辽宁高考文）下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为 ()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p4【解析】选D本题主要考查等差数列的通项公式和数列单调性的判断，意在以数列为载体，考查考生对一次函数、二次函数和反比例函数的掌握情况设ana1(n1)ddna1d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增数列，所以p2为假命题；若ann1，则满足已知，但1是递减数列，所以p3为假命题；设an3nd4dna1d，它是递增数列，所以p4为真命题24（2012重庆高考理）在等差数列an中，a21，a45，则an的前5项和S5 ()A7 B15 C20 D25【解析】选B 数列an的公差d2，则a11，a57，可得S515.25（2012辽宁高考理）在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11 ( )A58 B88 C143 D176【解析】选B 因为an是等差数列，所以a4a82a616a68，则该数列的前11项和为S1111a688.26（2012四川高考理）设函数f(x)2xcos x，an是公差为的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则f(a3)2a1a5 ()A0 B.2 C.2 D.2【解析】选D 设g(x)2xsin x，由已知等式得g(a1)g(a2)g(a5)0，则必有a30，即a3(否则若a30，则有(a1)(a5)(a2)(a4)2(a3)0，注意到g(x)是递增的奇函数，g(a3)0，g(a1)g(a5)g(a5)，g(a1)g(a5)0，同理g(a2)g(a4)0，g(a1)g(a2)g(a5)0，这与“g(a1)g(a2)g(a5)0”相矛盾，因此a30不可能；同理a30，a2a270，所以S1，S2，S50都是正数；当51n100，nN*时，同理S51，S52，S100也都是正数，所以正数的个数是100.28（2012大纲卷高考理）已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为 ()A. B. C. D.【解析】选A 设数列an的公差为d，则a14d5，S55a1d15，得d1，a11，故an1(n1)1n，所以，所以S10011.29（2012湖北高考理）定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2; f(x)2x；f(x)； f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 ()A B C D【解析】选C 设等比数列an的公比为q，则a的公比为q2， 的公比为，其余的数列不是等比数列30（2012浙江高考理）设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是 ()A若d0，则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项，则d0C若数列Sn是递增数列，则对任意nN*，均有Sn0D若对任意nN*，均有Sn0，则数列Sn是递增数列【解析】选C A、B、D均正确，对于C，若首项为1，d2时就不成立31（2012福建高考理）等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差 ()A1 B2 C3 D4【解析】选B 在等差数列an中，a1a510，2a310，a35，又a47，所求的公差为2.32（2012安徽高考理）公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10 ()A4 B5 C6 D7【解析】选B 由题意可知a3a11a16，因为an为正项等比数列，所以a74，所以log2a10log2(a723)log2255.33（2012新课标高考理）已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10 ()A7 B5 C5 D7【解析】选D 设数列an的公比为q，由得或所以或所以或所以a1a107.34（2012湖北高考文）定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 ()A B C D【解析】选C 根据“保等比数列函数”的概念逐个判断若an是等比数列，则a，也是等比数列，2an不一定是等比数列，ln|an|不一定是等比数列35（2012四川高考文）设函数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7 ()A0 B7 C14 D21【解析】选D f(a1)f(a2)f(a7)(a13)3(a23)3(a73)3(a13)(a23)(a73)1414，(a13)3(a23)3(a73)3(a13)(a73)0.(a13)3(a23)3(a73)37(a43)0.(a13)3(a73)3(a1a76)(a13)2(a73)2(a13)(a73)2(a43)(a43)227d2，其中该数列公差为d.同理(a23)3(a63)32(a43)(a43)212d2，(a33)3(a53)32(a43)(a43)23d2(a13)3(a23)3(a73)37(a43)2(a43)(a43)227d22(a43)(a43)212d22(a43)(a43)33d2(a43)37(a43)(a43)7(a43)284d270.d0，7(a43)284d270.a430，a43.a1a2a77a47321.36（2012辽宁高考文）在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10 ()A12 B16 C20 D24【解析】选B 因为数列an是等差数列，所以a2a10a4a816.37（2012福建高考文）数列an的通项公式anncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等于 ()A1 006 B2 012 C503 D0【解析】选A 由题意知，a1a2a3a42，a5a6a7a82，a4k1a4k2a4k3a4k42，kN，故S2 01250321 006.38（2012安徽高考文）公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则a5 ()A1 B2 C4 D8【解析】选A 因为a3a11a，又数列an的各项都是正数，所以解得a74，由a7a5224a5，求得a51.39（2012北京高考文）已知an为等比数列下面结论中正确的是 ()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，则a1a2 D若a3a1，则a4a2【解析】选B 设公比为q，对于选项A，当a10，q1时不正确；选项C，当q1时不正确；选项D，当a11，q2时不正确；选项B正确，因为aa2a1a32a.40（2012大纲卷高考文）已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 B.n1 C.n1 D.【解析】选B 令n1，则得a2，故S21，然而2212，故选项A错()21.()21，故选项C错.，故选项D错41（2012新课标高考文）数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为 ()A3 690 B3 660 C1 845 D1 830【解析】选D 不妨令a11，根据题意，得a22，a3a5a71，a46，a610，所以当n为奇数时，an1，当n为偶数时构成以a22为首项，以4为公差的等差数列所以前60项和为S603023041 830.42（2011大纲卷高考）设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k ()A8 B7 C6 D5【解析】选D 依题意得Sk2Skak1ak22a1(2k1)d2(2k1)224，解得k5，选D.43（2011江西高考）已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11.那么a10 ()A1 B9 C10 D55【解析】选A 由SnSmSnm，得S1S9S10a10S10S9S1a11.44（2011四川高考）数列an的首项为3，bn为等差数列且bnan1an(nN*)若b32，b1012，则a8 ()A0 B3 C8 D11【解析】选B 因为bn是等差数列，且b32，b1012，故公差d2.于是b16，且bn2n8(nN*)，即an1an2n8，所以a8a76a646a5246a1(6)(4)(2)02463.45（2011天津高考）已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为 ()A110 B90 C90 D110【解析】选D 因为a7是a3与a9的等比中项，所以aa3a9，又因为公差为2，所以(a112)2(a14)(a116)，解得a120，通项公式为an20(n1)(2)222n，所以S105(202)110.二.填空题46.（2015安徽高考，理14）已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 .【解析】由题意，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和 .【答案】47.（2015新课标全国卷II，理16）设是数列的前n项和，且，则_【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以【答案】48.（2015广东高考，理10）在等差数列中，若，则= .【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入【答案】49.（2015江苏高考，11）数列满足，且（），则数列的前10项和为 【答案】50.（2015陕西高考，文13）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_【解析】若这组数有个，则，又，所以；若这组数有个，则，又，所以；【答案】551.（2015广东高考，文13）若三个正数，成等比数列，其中，则 【解析】因为三个正数，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：【答案】52.（2015福建高考，文16）若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于_【解析】由韦达定理得，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，解得，；当是等差中项时，解得，综上所述，所以【答案】953.（2015浙江高考，文10）已知是等差数列，公差不为零若，成等比数列，且，则 ， 【解析】由题可得，故有，又因为，即，所以.【答案】54.（2015新课标全国卷I，文13）数列中为的前n项和，若，则 .【解析】，数列是首项为2，公比为2的等比数列，n=6.【答案】655.（2015安徽高考，文13）已知数列中，（），则数列的前9项和等于 .【解析】时，为首项，为公差的等差数列【答案】2756. (2014新课标全国卷高考文科数学T16)数列an满足an+1=,a8=2,则a1=.【解题提示】利用递推关系式逐步推导,可直接求得a1.【解析】由an+1=,可得an=1-,又a8=2,故a7=,依次下去得a1=.答案: 57.已知f(x)=,x0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nN+,则f2014(x)的表达式为.【解题指南】根据已知化简整理可得数列为等差数列,利用等差数列的通项公式可推得f2014(x)的表达式.【解析】由fn+1(x)=f(fn(x)fn+1(x)=+1,所以数列是以为首项,1为公差的等差数列,故=+(2014-1)=+2014=,所以f2014(x)=.答案:58.(2014广东高考文科T13)等比数列an的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.【解析】方法一:各项均为正数的等比数列an中a1a5=a2a4=4,则a1a2a3a4a5=25,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log225=5.方法二:各项均为正数的等比数列an中a1a5=a2a4=4,设log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=S,则log2a5+log2a4+log2a3+log2a2+log2a1=S,2S=5log2(a1a5)=10,S=5.答案:559.(2014广东高考理科)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+lna20=.【解析】各项均为正数的等比数列an中a10a11=a9a12=a1a20,则a1a20=e5,lna1+lna2+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.方法二:各项均为正数的等比数列an中a10a11=a9a12=a1a20,则a1a20=e5,设lna1+lna2+lna20=S,则lna20+lna19+lna1=S,2S=20ln(a1a20)=100,S=50.答案:50【误区警示】易算错项数和幂次,要充分利用等比数列的性质.60. （2014天津高考理科11）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为_.【解析】因为所以，即，解得.【答案】61.（2014安徽高考理科12）数列是等差数列，若，构成公比为的等比数列，则_.【解题提示】 求出等差数列的公差即可用表示出等比数列的三项，即可计算出公比。【解析】设等差数列的公差为d,则，即，解得d=-1,所以，所以.答案：162（2013湖南高考理）设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan，nN*，则(1)a3_；(2)S1S2S100_.【解析】本小题主要考查数列的递推关系、等比数列的求和等知识，考查推理论证能力及分类讨论思想(1)当n1时，S1(1)a1，得a1.当n2时，Sn(1)n(SnSn1).当n为偶数时，Sn1，当n为奇数时