数理方程第一章答案.doc

第一章． 波动方程

§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程

其中为杆的密度，为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 与。现在计算这段杆在时刻的相对伸长。在时刻这段杆两端的坐标分别为：

其相对伸长等于
令，取极限得在点的相对伸长为。由虎克定律，张力等于

其中是在点的杨氏模量。
设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为

于是得运动方程
利用微分中值定理，消去，再令得

若常量，则得
=
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为

(2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边界条件为 |=0
同理，若为自由端，则相应的边界条件为 ∣
(3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数给出，则在端支承的伸长为。由虎克定律有
∣
其中为支承的刚度系数。由此得边界条件
∣ 其中
特别地，若支承固定于一定点上，则得边界条件
∣。
同理，若端固定在弹性支承上，则得边界条件
∣
即 ∣
3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为
其中为圆锥的高(如图1)
证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则
点处截面的半径为：

所以截面积。利用第1题，得

若为常量，则得

4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为，弦的线密度为，则点处的张力为

且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻沿垂直于轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为

其中表示方向与轴的夹角
又
于是得运动方程
∣∣
利用微分中值定理，消去，再令得
。
5. 验证 在锥>0中都满足波动方程

证：函数在锥>0内对变量有
二阶连续偏导数。且

同理
所以
即得所证。
6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)
与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.
解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为,故上所受摩阻力为
运动方程为:

利用微分中值定理，消去,再令得

若常数，则得

若

§2 达朗贝尔公式、 波的传抪
1. 证明方程

的通解可以写成

其中F,G为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:

解：令则

又
代入原方程，得

即
由波动方程通解表达式得

所以
为原方程的通解。
由初始条件得

所以
由两式解出

所以
+
即为初值问题的解散。
２．问初始条件与满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？
解：波动方程的通解为
u=F(x-at)+G(x+at)
其中F，G由初始条件与决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对
于任何有 G(x+at)常数.
即对任何x, G(x)C
又 G（x）=
所以应满足
（常数）
或 (x)+=0
3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）

解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)
令 x-at=0 得 =F（0）+G（2x）
令 x+at=0 得 =F（2x）+G(0)
所以 F(x)=-G(0).
G（x）=-F(0).
且 F（0）+G(0)=
所以 u(x,t)=+-
即为古尔沙问题的解。
4．对非齐次波动方程的初值问题

证明：
（1） 如果初始条件在x轴的区间[x,x]上发生变化，那末对应的解在区间[，
]的影响区域以外不发生变化；
（2） 在x轴区间[]上所给的初始条件唯一地确定区间[]的决定区
域中解的数值。
证：（1） 非齐次方程初值问题的解为
u(x,t)=
+
当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐
次方程初值的解。
当在[]上发生变化，若对任何t>0,有x+at<x或x-at>x,则区间[x-at,x+at]整个落在区间[]之外，由解的表达式知u(x,t)不发生变化，即对t>0,当x<x-at或x>x+at,也就是（x,t）落在区间[]的影响域

之外，解u(x,t)不发生变化。 （1）得证。
(2). 区间[]的决定区域为
在其中任给（x,t）,则

故区间[x-at,x+at]完全落在区间[]中。因此[]上所给的初绐
条件代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。
5. 若电报方程

具体形如

的解（称为阻碍尼波），问此时之间应成立什么关系？
解

代入方程，得

由于是任意函数，故的系数必需恒为零。即

于是得

所以
代入以上方程组中最后一个方程，得

又
即
最后得到
6．利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题

解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：
。
由题意知仅在上给出，为利用达朗贝尔解，必须将开拓到上，为此利用边值条件，得
。
因此对任何必须有

即必须接奇函数开拓到上，记开拓后的函数为；

所以
。
7．求方程形如的解（称为球面波）其中。
解：

`

代入原方程，得

即
令 ，则

代入方程，得 v满足

故得通解
所以
8．求解波动方程的初值问题

解：由非齐次方程初值问题解的公式得

=
=
=
=
即 为所求的解。
9．求解波动方程的初值问题。

解：

=
=
=
=
+
=
+
所以

  §3混合问题的分离变量法
1. 用分离变量法求下列问题的解：
(1)

解：边界条件齐次的且是第一类的，令

得固有函数，且
，
于是
今由始值确定常数及，由始值得

所以 当

因此所求解为

(2)
解：边界条件齐次的，令

得： (1)
及 。
求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。
时，方程的通解为

由得
由得
解以上方程组，得，，故时得不到非零解。
时，方程的通解为
由边值得，再由得，仍得不到非零解。
时，方程的通解为

由得，再由得

为了使，必须 ，于是

且相应地得到
将代入方程(2)，解得

于是
再由始值得

容易验证构成区间上的正交函数系：

利用正交性，得

所以
2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为
求解此问题。
解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取，则满足
，
令代入原定解问题，则满足

满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为，
故设
将方程中非齐次项及初始条件中按展成级数，得

其中

其中
将(2)代入问题(1)，得满足
解方程，得通解
由始值，得

所以

因此所求解为

3．用分离变量法求下面问题的解

解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为

设
将非次项按展开级数，得

其中
将 代入原定解问题，得满足

方程的通解为

由，得：
由，得
所以
所求解为

4．用分离变量法求下面问题的解：

解：方程和边界条件都是齐次的。令

代入方程及边界条件，得

由此得边值问题

因此得固有值，相应的固有函数为

又满足方程

将代入，相应的记作，得满足

一般言之，很小，即阻尼很小，故通常有

故得通解
其中
所以

再由始值，得
所以

所求解为

§4 高维波动方程的柯西问题
1． 利用泊松公式求解波动方程

的柯西问题
解：泊松公式

现
且
其中

计算

所以

u(x,y,z)=

即为所求的解。
2． 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。
解：三维波动方程的柯西问题

当u不依赖于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题：

利用泊松公式求解

因只与z有关，故

令,
得
所以

即为达郎贝尔公式。
3. 求解平面波动方程的柯西问题：

解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：

又

因为

所以

又

于是

即为所求的解。
4. 求二维波动方程的轴对称解（即二维波动方程的形如的解，
.
解： 解法一：利用二维波动方程柯西问题的积分表达式

由于u是轴对称的故其始值,只是r 的函数，,
记圆上任一点的矢径为
圆心其矢径为记则由余弦定理知，，其中为与的夹角。选极坐标。

于是以上公式可写成

由上式右端容易看出，积分结果和有关，因此所得的解为轴对称解，即

+
解法二：作变换,.波动方程化为

用分离变量法，令u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得

解得：

令叠加得

5.求解下列柯西问题

[提示：在三维波动方程中，令]
解：令
则

代入原问题，得

记为上半球，为下半球，为在平面上的投影。
,则

所以

于是

即为所求的解。
6．试用第七段中的方法导出平面齐次波动方程

在齐次初始条件

下的求解公式。
解：首先证明齐次化原理：若是定解问题

的解，则即为定解问题

的解。
显然，

（ ）.所以
又

因为w满足齐次方程，故u满足

齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式知

所以

即为所求的解。
所以
7．用降维法来解决上面的问题
解：推迟势

其中积分是在以为中心，为半径的球体中进行。它是柯西问题

的解。对于二维问题，皆与无关，故

其中为以为中心r为半径的球面，即

其中分别表示的上半球面与下半球面，表示在平面上的投影。
所以

在最外一层积分中，作变量置换，令，即，当时，当时，，得

即为所求，与6题结果一致。
8． 非齐次方程的柯西问题

解：由解的公式得

计算　　　　　

所以　 　
计算 　　　

所以　　　

即为所求的解。

　　　　　 §5　能量不等式，波动方程解的唯一和稳定性
1． 设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程

证明其能量是减少的，并由此证明方程

的混合问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性。
证：　首先证明能量是减少。
能量　

因弦的两端固定， 所以

于是
(
因此，随着的增加，是减少的。
证明混合问题解的唯一性
混合问题:

设是以上问题的解。令则满足

能量
当利用初始条件有由得

所以
又是减少的，故当又由的表达式知
所以

由此得及于是得到
常量
再由初始条件得因此即混合问题解的唯一的。
3证明解关于初始条件的稳定性，即对任何可以找到只要初始条件之差满足

则始值所对应的解及所对应的解之差满足

或
令

即
积分得
又,所以
即
记，则满足

则相对应地有

故若

则
于是 (对任何t)
即
或
解关于自由的稳定性
设满足
满足
则满足
今建立有外力作用时的量不等式

=
=

其中故

又 , 所以

由中证明, 知

而 故

因此, 当 ,则

亦即当，则。即解关于自由项是稳定的。
2．证明如果函数在G：，作微小改变时，方程
（，和都是一些充分光滑的函数）满足固定端点边界条件的混合问题的解在G内的改变也是很微小的。
证：只须证明，当很小时，则问题的解也很小（按绝对值）。
考虑能量

由边界条件 ，，故，。
所以
又由于，，故，即

或
记
得
由初始条件 ，，
又因 ，得，故，即
若很小，即，则，故

即在中任一时刻，当很小时，，又中积分号下每一项皆为非负的，故
（对中任一时刻）今对，，
估计。
因为 ，应用布尼亚科夫斯基不等式，
可以得到
其中 （因且充分光滑）
即
又由边界条件 ，得
即当 ，，有很小，得证。
3．证明波动方程

的自由项中在意义下作微小改变时，对应的柯西问题的解在意义之下改变也是微小的。
证：研究过的特征锥

令截，得截面，在上研究能量：

其中为的边界曲线。再利用奥氏公式，得

因为第二项是非正的，故

所以
令
上式可写成
即

即
研究

所以

为证明柯西问题的解的关于自由项的稳定性，只须证明柯西问题

当“很小”时，则解的模也“很小”
此时，由始值，而由于得

所以 ，即

故任给，当，则得证
4．固定端点有界弦的自由振动可以分解成各种不同固有频率的驻波(谐 波)的迭加。试计算各个驻波的动能和位能，并证明弦振动的总能量等于各个驻波能量的迭加。这个物理性质对应的数学事实是什么？
解：固定端点有界弦的自由振动，其解为

每一个是一个驻波，将的总能量记作，位能记作，动能记作，则

总能量
由此知与无关，即能量守恒，。
现在计算弦振动的总能量，由于自由振动能量守恒，故总能量亦满足守恒定律，即

即
又由分离变量法，、由始值决定，且

所以
利用在上的正交性，得

同理

所以 。
即总能量等于各个驻波能量之和。
这个物理性质所对应的数学意义说明线性齐次方程在齐次边界知件下，不仅解具有可加性，而且及仍具有可加性。这是由于的正交性所决定的。
5.在的情况下，证明定理5，即证明此时波动方程柯西问题存在着唯一的广义解，并且它在证理4的意义下是稳定的。
证：我们知道当，则波动方程柯西问题的古典解唯一存在，且在意义下关于初始条件使稳定的（定理3、4）
今，根据维尔斯特拉斯定理，存在{},{}, 当时及其一阶偏导数,分别一致收敛于及一致收敛于。
记：为初始条件的柯西问题的古典解为，则二阶连续可微，且在意义下关于是稳定的。{},{}为一致连续序列，自然在 ：特征锥K与相交截出的圆意义下为一基本列，即时
,
,
根据的稳定性，得

即在意义下为一基本列，根据黎斯—弗歇尔定理，存在唯一的函数,使当时

即为对应于初始条件的柯西问题的广义解。
现在证明广义解的唯一性。
若另有，当时且 是一致的，其所对应的古典解(按), 现在, 用反证法，
若，研究序列
(1)
(2)
则序列（1）及其对的偏导数仍分别一致收敛于, 序列（2）仍为一致收敛于，利用古典解关于初始条件的稳定性，序列（1）(2)所对应的古典解序列

根据黎期弗歇尔定理，按意义收敛于唯一的极限函数。与矛盾。故以上所定义的广义解是唯一的。
若，所对应的广义解记作又所对应的广义解记作，即存在。分别一致收敛于则，所对应的古典解按意义收敛于所对应的古典解按意义收敛于

(3)
若,,,。则

=3[++]
因，，故当有，
所以即
同理有 ，，
由古典解的稳定性，得。（当）又由广义解的定义知，对，
当有
，
故当时，由（3）式有

即广义解对于初始条件是稳定的。
6．对弦振动方程的柯西问题建立广义解的定义，并证明在为连续，为可积的情形，广义解仍然可以用达朗贝尔公式来给出，因而是连续函数。
解：由达朗贝尔公式知，当时
则柯西问题
有古典解.且关于是稳定的。
现在按以下方法来定义广义解。
给出一对初始函数可以唯的确定一个。函数对的全体构成一个空间，它的元素的模按以下方式来定义，记的依赖区域为，记为区域：，则在上的值仅依赖于上函数对的值。今定义

则构成一个线性赋范空间，其中任意两个元素
，
的距离为
中任一元素对应一个解是中二阶连续可微函数，它的全体也构成一个函数空间，记为，其模定义为，二元素的距离为则与的关系可以看成到的一个映象，且根据关于的稳定性知，映象是连续的。
现将完备化，考虑中任一基本列，满足，则在中按模成为基本列，由黎斯—弗歇尔定理，存在着极限元素即将添入且定义的模为
则为一完备空间
又为基本列，则所对应的也是一个中的基本列（稳定性），再根据黎斯—弗歇尔定理，存在着唯一的极限元素，就称为对应于初始条件的弦振动方程柯西问题的广义解。
若连续，则存在且一致收敛于，又可积则必可积，因此对任意的存在连续函数，使得

又
再由维尔斯特拉斯定理知存在，当时一致收敛于，即任给，当时

于是

当
即当时

亦即收敛于。
对于，，由达朗贝尔公式得，

令， 由于，则是收敛的， 记其极限函数为，得广义解：

又连续。可积，则也连续，故为连续函数。即得所证。
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