漆安慎 杜禅英 力学习题及答案08章.doc

第8章弹性体的应力和应变习题解答 60 第8章弹性体的应力和应变习题解答
第八章
一、基本知识小结

⒈弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。

⒉应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用σ表示；如果内力方向在面元内，就叫切应力，用τ表示。
⒊应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果l0表示原长，Δl表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变ε= Δl/l0；在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角ψ表示。

⒋力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。
在拉压形变中表示为 σ= Yε，Y是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为 τ= Nψ，N是由材料性质决定的切变模量。

⒌发生形变的弹性体具有形变势能：
拉压形变的形变势能密度 ，
剪切形变的形变势能密度 。
⒍梁弯曲的曲率与力偶矩的关系
⒎杆的扭转角与力偶矩的关系
二、思考题解答
8．1作用于物体内某无穷小面元上的应力是面元两侧的相互作用力，其单位为N.这句话对不对？
答：不对，应力为作用于该无穷小面元两侧单位面积上的相互作用内力，其单位为 或 。其面元法向分量称正应力，切向分量 称切应力。
8．2（8.1.1）式关于应力的定义当弹性体作加速运动时是否仍然适用？
答：适用，（8.1.1）式中的 是面元两侧的相互作用内力，它与作用于物体上的外力和物体的运动状态有关。
8．3牛顿第二定律指出：物体所受合力不为零，则必有加速度。是否合力不为零，必产生变形，你能否举出一个合力不为零但无形变的例子？
答：不一定，物体是否发生形变应看物体内应力是否为零，应力为零，则不形变。自由落体运动，物体受重力作用，但物体内部应力为零，则不发生形变。
8．4胡克定律是否可叙述为：当物体受到外力而发生拉伸（压缩）形变时，外力与物体的伸长（压缩）成正比，对于一定的材料，比例系数是常数，称作该材料的杨氏模量？
答：不对。首先形变应在弹性限度内，其次杨氏模量只与材料的形状有关，而比例系数不但与材料性质有关，还与材料的形状（横截面）有关，即与材料的横截面有关，对一定性质的材料，随截面的不同而变，两者是不同的。
8．5如果长方体体元的各表面上不仅受到剪切应力而且受到正应力，剪切应力互等定律是否还成立？
答：正应力不改变未施加前各面的力矩，剪切应力互等定律仍然成立。
8．6是否一空心圆管比同样直径的实心圆棒的抗弯能力要好？
答：不是，一个实心管可视为由许多半径不同的空心管组成的，对于相同材料、同样直径的空心管和实心管的抗弯能力显然实心圆管比同样直径的空心圆棒的抗弯能力要好。
8．7为什么自行车辐条要互相交叉？为什么有些汽车车轮很粗的辐条不必交叉？
答：自行车辐条很细且很长，它不能依靠垂直辐条提供很大的抗扭曲力矩和瓦圈的抗形变能力，交叉后的辐条利用了拉伸、压缩车轮的抗扭能力和瓦圈的抗变形能力，而车轮的辐条很粗，则完全可以提供足够的抗弯力矩
8．8为什么自行车轮钢圈横截面常取（a）（b）形状而不采取（c）的形状？
答：自行车在承重情况下，钢圈主要是抗变形作用，钢圈截面距中性层越远，抗弯作用越大，（c）截面主要分布在中性层附近，与（a）、（b）比抗弯能力最差。
8．9为什么金属平薄板容易变形，但在平板上加工出凹凸槽则不易变形？
答：加工出凹凸槽，相当于增加了板距中性面的材料，减少了距中性面近的材料从而增加了抗弯能力，故不易变形。
8．10用厚度为d的钢板弯成内径为的圆筒，则下料时钢板长度应为这是为什么？
答：用原为的钢板弯成内径为的圆筒时，其中性层的长度正好为，以此长度下料，可使弯曲面内层、外层的应力均匀，使圆筒的坚固性最弱。

8.1.1 一钢杆的截面积为5.0×10-4m2，所受轴向外力如图所示，试计算A、B，B、C和C、D之间的应力。

解： E G H
F1 F2 F3 F4
A B C D
根据杆的受力情况，可知杆处于平衡状态。分别在AB之间E处，BC之间G处，CD之间H处作垂直杆的假想截面S。
隔离AE段，由平衡条件，E处S面上的内力F=F1,∴A、B之间的应力
隔离AG段，由平衡条件，G处S面上的内力F=F2-F1,∴B、C之间压应力
隔离HD段，由平衡条件，H处S面上的内力F=F4,∴C、D之间的应力
8.1.2 利用直径为0.02m的 C
0.8m
W
0.6m
1.0m
钢杆CD固定刚性杆AB.若CD杆
内的应力不得超过σmax=16×107Pa T
.问B处最多能悬挂多大重量？ A D B
解：隔离AB，以A点为轴，
由力矩平衡条件，有

隔离CD，杆CD应力σ=T/S,∴T=σS=σπ(D/2)2.杆能承受的最大拉力 N
B处能悬挂的最大重量

2m
3m
8.1.3 图中上半段为横截面等于4.0×10-4m2
且杨氏模量为6.9×1010Pa的铝制杆，下半段为横
截面等于1.0×10-4m2且杨氏模量为19.6×1010Pa
的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为7.8×107Pa,
钢杆内允许最大应力为13.7×107Pa.不计杆的自
重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷
下杆的总伸长量。 F
解：设铝杆与钢杆的长度、横截面、杨氏模量、应力分别为：l1、S1、Y1、σ1，l2、S2、Y2、σ2., 显然，σ1=F/S1，σ2=F/S2.
设铝杆和钢杆所能承担的最大负荷分别为F1max，F2max，则

整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷：
根据拉伸形变的胡克定律，对于铝杆 ，所以，
；对于钢杆，同样有 . 整个杆的伸长量是：

8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂。电梯质量为500kg。最大负载极限5.5kN。每根钢索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为6.0×108Pa. T T T
解：设每根钢索承受拉力为T,电梯自重为
W=mg,负荷为W'=m'g.由牛顿第二定律，
W’
W
a

设钢索直径为D，每根钢索的应力

8.1.5 ⑴矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε，此材料的泊松系数为μ，求证杆体积的相对改变为 (V-V0)/V0=ε(1-2μ)，V0表示原体即，V表示形变后体积. ⑵上式是否适用于压缩？⑶低碳钢杨氏模量为Y=19.6×1010Pa，泊松系数μ=0.3，受到的拉应力为σ=1.37Pa，求杆件体积的相对改变。
解：⑴设杆原长为l0，矩形截面两边原长分别为a0和b0，据线应变定义：轴向应变，横向应变，所以：
，由泊松系数定义，拉伸时，ε>0, ε1<0, ∴ε1=-με
⑵对于压缩，ε<0, ε1>0, 仍有ε1=-με成立，因此上式对压缩情况仍然适用
⑶据胡克定律

8.1.6 ⑴杆受轴向拉力F，其横截面为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为γ，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为 。⑵杆内应力如上式，试证明杆的总伸长量 x
证明：⑴建立图示坐标o-x，在坐标x处取
一截面S，隔离o、x段杆，由平衡条件，截面 x dx
o
S上的内力 F’=F+γSx ，据应力定义
F
⑵考虑x处的线元dx，该线元在重力作用下的绝对伸长为dl,据胡克定律，
积分：

8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，没有切断，该钢板发生了切变。钢板的横截面积为S=90cm2.两刀口间的垂直距离为d=0.5cm.当剪切力为F=7×105N时，求：⑴钢板中的 d
切应力，⑵钢板的切应变，⑶与刀口相齐的
两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切
模量N=8×1010Pa。
解：⑴据切应力定义
⑵据胡克定律，
⑶

8.3.1一铝管直径为4cm，壁厚1mm，长10m，一端固定，而另一端作用一力矩50Nm，求铝管的扭转角θ；对同样尺寸的钢管再计算一遍，已知铝的剪切模量N=2.63×1010Pa，钢的剪切模量为
8.0×1010Pa
ψ
θ
解：设管的半径为R, 管壁厚d，管长为l, 外力矩为M，由于d<<R，可认为管壁截面上各处的切应力大小相等，设为τ，在平衡状态下，内、外力矩相等：
据剪切形变的胡克定律：

对于钢管：

8.3.2矩形横截面长宽比为2:3的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲，各以横截面的长和宽作为高度，求同样力偶矩作用下曲率半径之比。
解：设梁衡截面长为2d, 宽为3d，据梁纯弯曲的曲率公式：

以2d为梁的高：
以3d为梁的高：

8.3.3 某梁发生纯弯曲，梁长度为L,宽度为b，厚度为h，弯曲后曲率半径为R,材料杨氏模量为Y,求总形变势能。
解：建立图示坐标o-x,
原点o在中性层。梁的弯曲 R θ
是由不同程度的拉伸压缩形 b
变组成。
在坐标x处，取一体元
dv=bLdx ，其应变 x x
其形变势能密度
其形变势能 .
在整个梁中积分，即得到整个梁的形变势能