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《当代中学生报》2014年高考泄露天机
数学
一、选择题
5.函数的图象大致是( )

5.A 因为，
所以函数是偶函数,其图象关于轴对称应排除B、D；
又因为当 时, ,, ，
所以选A.
6.设函数，且其图象关于直线对称，则( ).
（A）的最小正周期为，且在上为增函数
（B）的最小正周期为，且在上为减函数
（C）的最小正周期为，且在上为增函数
（D）的最小正周期为，且在上为减函数
6.B ，∵函数的图象关于直线对称，∴函数为偶函数，∴，∴，∴，
∵，∴，∴函数在上为减函数.
7. 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )
(A) (B) (C) (D)
7.C 此三棱柱为正三棱柱，体积为的球体的半径为，由此可以得到三棱柱的高为，底面正三角形中心到三角形各边的距离均为，故可得到三角形的高是，三角形边长是，所以三棱柱的表面积为.
8.已知直线平面，直线平面，给出下列命题,其中正确的是( ).
① ②
③ ④
（A）①③ （B） ②③④ （C） ②④ （D） ①②③
8.A
.
11. 如图，已知为△内部（包括边界）的动点，若目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是（ ）

（A） （B）
（C） （D）
11.B
12.设△的内角的所对的边成等比数列，则的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
12. C 根据成等比数列,有,则,
根据三角形三边关系,有,
所以,即,消掉得,
化简得：，两边同时除以，可得，
解得.则.
13. 如图，半径为2的半圆有一内接梯形，它的下底是⊙O的直径，上底的端点在圆周上．若双曲线以为焦点，且过两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的实轴长为( ).

（A）＋1 （B）2＋2 （C）－1 （D）2－2
14.若在区间和内各取一个数，分别记为和，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为( ).
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
14.B
15.函数的图象如图所示,则·( ).

（A）8 （B） －8 （C） （D）
15.Ｃ
16..△中，角成等差数列是成立的( ).
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16.A 若成等差数列，则，∴.若，则，
即，∴，
∴或，即或.
17.对于上可导的任意函数，若满足，则必有( ).
（A） （B）
（C） （D）
17.C ∵，∴当时，，则函数在上单调递减，当时，，则函数在上单调递增，即函数在处取得最小值，∴，，则将两式相加得．
18.已知点三点不共线，且有，则有( ).
(A) (B)
(C) (D)
18.B 设所对的边分别为，由，得，又由正弦定理得，,所以在△中，有，所以，所以.
19.（理科）设的展开式的各项系数和为，二项式系数和为，若，则展开式中的系数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
19.B
20.若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为( ).
（A）2014 （B）2015 （C）4028 （D）4030
20.C 令，得，再令，将代入可得.
设，，则，所以.又因为，所以可得，所以函数是递增的，所以.又因为，所以的值为4028.
二、 填空题
23.如图，在直角梯形中，，，，是线段上一动点，是线段上一动点，，则的取值范围是 ．

23. 建立平面直角坐标系如图所示，则．

因为，所以，
所以，
,
所以.
24.已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点，使得，则的取值范围为_________.
24. 由题意知,设,由得，
解得(舍)或,由得的取值范围为.
25.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足，,, 则的取值范围是 .
25.
26.在数列中，，为数列的前项和且，则

26.
27.一个多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图如下，、分别为、的中点.
A
B
C1
A1
B1

主视图

左视图

俯视图

C

下列结论中正确的是_________.（填上所有正确项的序号）
① 线与 相交；②；③//平面；
④三棱锥的体积为.
27.②③④ 取的中点D，连结、.由于、分别是所在棱的中点，所以可得平面,平面,所以平面.同理可证平面.又,所以平面平面,所以直线与 相交不成立，①错误；由三视图可得平面.所以平面，所以，又易知，所以平面，所以，②正确； ③正确；因为，所以④正确.综上，②③④正确.
28.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .
28. 由得或，即或.又，所以或.因为不等式对恒成立，所以或.
(1)令，则.
令得，当时，；当时，，所以在上是增函数，在是减函数，
所以，所以.
(2) 令，则，因为，所以，所以，所以在上是增函数.易知当时，，故在上无最小值，所以在上不能恒成立.
综上所述，，即实数的取值范围是.
29.设函数的定义域为，如果，存在唯一的，使（为常数）成立。则称函数在上的“均值”为.已知四个函数：
①；②；③；④
上述四个函数中，满足在定义域上的“均值”为１的函数是　 ．（填上所有满足条件函数的序号）
29.①③ ①对于函数 ，定义域为 ，设 ，由 ，得 ，所以，所以函数是定义域上“均值”为1的函数；
②对于函数 ，定义域为 ，设 ,由得 ，当时 ， ，不存在实数 的值，使 ，所以该函数不是定义域上“均值”为1的函数；
③对于函数 ，定义域是 ，设 ，得 ，则 ，所以该函数是定义域上“均值”为1的函数；
④对于函数 ，定义域为 ，设 ,由 ，得 ，因为，所以存在实数，使得 成立，但这时的取值不唯一，所以函数不是定义域上“均值”为1的函数.
30. 已知点点是线段的等分点，则= ．
30. 由题设，知 ， ， ，…， ，… ， ,
所以 ， ， ，…， ，… ， , ,
== ,

三、 解答题
33.已知各项均不为零的数列，其前项和满足.在等差数列中，，且是与的等比中项.
(1)求和，
(2)记，求的前n项和.
33.解： .当时，；当时，.
(2)当时，，；
当时，，．
综上，当时，；当时，．
35.（理）如图所示，四边形为直角梯形，，，△为等边三角形，且平面平面，，为中点．
A
B
E
C
D
P
·

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）在△内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．
解：（1）证明如下：取的中点，连结，
因为△是正三角形，所以.
因为四边形是直角梯形，，，
所以四边形是平行四边形，.
又，所以.
又因为,所以平面，
所以.
（2)因为平面平面，
，所以平面，
所以.
如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.
A
B
E
C
D
P
·
y
x
z
O

则，，，，，
所以 ,，
设平面的一个法向量为，则
，
令，则,,所以.
同理可求得平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则
，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
（3）设，因为，
所以，,.
依题意得即
解得 ，.
符合点在△内的条件.
所以存在点，使平面，此时.
36.某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元．
（1）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？
36.解：（1）设摩天轮上总共有个座位，则，即，
，
定义域为.
（2）当时，.
令，
则，
∴，.
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
∴在时，y取到最小值，此时座位个数为个．
37.已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为.设抛物线的焦点在直线的下方.
（1）求的取值范围；
（2）设为上的一点，且，过两点分别作的切线，记两切线的交点为. 判断四边形是否为梯形，并说明理由.
解：（1）抛物线的焦点为.由题意，得直线的方程为，
令，得，即直线与y轴相交于点.因为抛物线的焦点在直线的下方，所以，解得，因为，所以.
（2）结论：四边形不可能为梯形.理由如下：
假设四边形为梯形.依题意，设，，，
联立方程消去y，得，由韦达定理，得，所以.
同理，得.对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线的斜率为，抛物线在点处的切线的斜率为.
由四边形为梯形，得或.
若，则，即，因为方程无解，所以与不平行.
若，则，即，因为方程无解，所以与不平行，所以四边形不是梯形，这与假设矛盾.因此四边形不可能为梯形.
38. 数列的首项为（），前项和为，且（）．设，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；
（3）当时，试求三个正数，，的一组值，使得为等比数列，且，，成等差数列．
38.解：（1）因为①，
当时，②，
①-②得，（），
又由，得，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以（）．
（2）当时，，，，
由，得，（*），
当时，若，则（*）式不成立．
当时，（*）式等价于，
当时，（*）式成立；
当时，有，即恒成立，所以；
当时，有，；当时，有，．
综上，的取值范围是．
（3）当时，，，
，
所以当时，数列是等比数列，所以
又因为，，成等差数列，所以，即，
解得．
从而，，．
所以，当，，时，数列为等比数列，且，，成等差数列．
39.已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴的一个端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）求△ 面积的最大值，并求此时直线的方程.
39.解：（1）由已知得到,所以,即.
又椭圆经过点,所以,
解得,
所以椭圆的方程是.
（2）因为直线且两直线都过点,
①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,所以圆心到直线的距离为,所以,
由得,
所以,
,
所以.
令,则,
.
当,即时,等号成立,
故△面积的最大值为,此时直线的方程为.
②当的斜率为0,即时, ;
当的斜率不存在时,不符合题意;
综上, △面积的最大值为,此时直线的方程为.
40.（理）已知函数．
（1）证明函数在区间上单调递减；
（2）若不等式对任意的都成立，（其中是自然对数的底数），求实数的最大值．
40.解：（1）证明如下：，令，
，所以函数在上单调递减，
∴，∴，
∴函数在区间上单调递减.
（2）在原不等式两边取对数得，由知.
设，则
，
设，则
.
由（1）知时，，
∴函数在上单调递减，∴，
∴，∴函数在上单调递减.
∴，
∴函数在上的最小值为，∴，
∴的最大值为.

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