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一元二次方程的概念及一般形式

（一） 知识回顾
1、 什么是一元一次方程？
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
2、 一元一次方程的一般形式是什么？
一般形式 ax+b=0 （a≠0）

（二） 问题情境
1、 有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100-2x）cm,宽为（50-2x）cm,根据方盒的底面积为3600cm,得
（100-2x）（50-2x）=3600
整理得：4x-300x+1400=0
化简得：x-75x+350=0①
由方程可以得出所切正方形的具体尺寸。
2、 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排七天，每天安排四场比赛，比赛组织者应邀请多少队参加？
全部比赛共4x7=28（场）
设应邀请x个队参加，每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x-1)场。
列方程 x(x-1)=28
整理得 x- x=28
化简得 x-x=56 ②
由方程可得出参赛队数
（三） 启发探究
1、 讨论他们是一元一次方程吗？（不是）
2、 我们看一看①与②有什么共同点
引出一元二次方程的内涵：① 只含有一个未知数 ②未知数的最高次数是2 ③方程两边都是整式
我们之前讲过一元一次方程概念是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。而刚才我们发现的方程我们给它起个名字应该叫什么呢？
一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程。
（四） 练习反馈
1判断下列等式是否是一元二次方程
(1)3x+2x+1=0 (2) x+y=7
(3) x+ x+x-1=0 (4) -=1
(5)3x(x-1)=5(x+2)

我们看一下第五小题是不是一元二次方程呢？
我们需要把它化简一下3x(x-1)=5(x+2)
去括号得 3x+3x= 5x+10
然后移项并合并同类项得 3x-2x-10=0
我们知道它是一元二次方程。我们为什么会这么快能判断它是不是一元二次方程呢？
（五）深入探究
为了方便，我们看一下一元二次方程的一般形式
ax+bx+c=0 (a≠0)
（1）探究：为什么a≠0？
如果a=0方程为bx+c=0，我们知道它是一元一次方程，所以ax+bx+c=0中a≠0
继续讨论：
如果a≠0，b=0，c≠0 ax+ c=0 一元二次方程
如果a≠0，b≠0，c=0 ax+bx=0 一元二次方程
如果a≠0，b=0，c=0 ax=0 一元二次方程
再看一下一元二次方程的一般形式 ax+bx+c=0 (a≠0)
（2）ax+bx+c=0 (a≠0)中ax是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
（3）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，讲过整理都能化成一般形式，所以如果让我们判断一个方程式不是一元二次方程我们只需把它化简，如果符合一般形式则是，否则不是。这就解决了刚才的问题。
（六）能力提升
1、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数，一次项系数，是常数项。
（1）4x（x+2）=0 （2）x+3x=5
（3）9x+3=0 （4）2x-7x=0
（5）（m+2）x+mx-5=0
（5）解：因为一元二次方程二次项系数不能为0，所以m+2≠0，得出 m≠-2时此方程是一元二次方程，则二次项系数为m+2，一次项系数为m，常数项为-5.
2、根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成二次方程的一般形式。
（1） 一个矩形的长比宽多2m，面积是100m，求矩形的长x。
由已知得矩形的宽（x-2）m，列出方程x（x-2）=100 整理得 x-2x-100=0
（七）归纳总结
1、一元一次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0 (a≠0)
区分二次项和二次项系数，一次项和一次项系数，常数项。
（八）课后作业 p32 1题

一元二次方程的概念及一般形式

班级：数学与应用数学一班
姓名：王志云
学号：2010022141038