肥料效应方程求解施肥量和作物产量的方法.doc

利用肥料效应方程求解施肥量和作物产量的方法
　1．概述

　　利用逐步回归这一数学方法，将试验中测得的产量数据与肥料施用量拟合成回归方程，一般叫做肥料效应方程，或叫肥效反应方程，或叫效应方程，或直接叫做产量曲线。这一方法在当前的土壤肥料研究中得到越来越广泛的应用。以下简要介绍如何利用肥效回归方程来求出最高产量施肥量、理论最高产量；最佳经济施肥量、最佳经济产量；经济合理施肥量、经济合理产量等计算关键性施肥量和产量的方法。

　　将施肥量选在合适的范围内布置田间试验，所得作物产量可以与施肥量模拟出抛物型二次回归方程式。在施肥量较低时，作物产量随施肥量增加而提高，直到达到最高产量。此后，作物产量随施肥量增加而降低。能够取得最高产量的施肥量叫做最高产量施肥量。

　　 在商品生产中，需要根据作物产品的产值和肥料投入的价值比较来计算经济效益，这时首先要考虑最后增加的那一个单位的肥料投入量所能增加的作物产量，这就叫做边际产量。利用高等数学中微分求导方法，很容易得到边际产量。根据已知回归方程，即可求出肥料用量对作物产量的一阶导数，就是最后一个单位肥料投入量的作物产量增加量，这就是边际产量方程。

　　一般情况下，随着施肥量增加，边际产量递减，当达到最高产量时，边际产量为零，就是说这时再增加施肥，作物产量不再增加，这是重要的一点。根据这一原理，令边际产量方程为0时，就可求出最高产量施肥量，将其代回肥效方程，可求出理论最高产量。

　　因为肥料是有价格的，所以达到最高产量时，往往在经济上已经不合算，所以要找到最佳经济产量和最佳经济产量施肥量。作物产量乘以作物产品价格等于作物产值，肥料投入量乘以肥料价格等于肥料投入值。当最后一个单位肥料投入增加值与作物增产值相等，即两者比例为1时，就是最佳经济产量，此时的施肥量即为最佳经济施肥量。在简单的情况下，可以利用求出的边际产量方程乘以肥料作物价格比得到边际产值方程，当边际产值方程等于1时，最后一个单位肥料投入增加值等于作物产值增加值，这时的产量为最佳经济产量，施肥量为最佳经济施肥量。这时的边际产值，通俗地说即施肥投入的最后一元钱，作物增产值只能收回一元钱，利润为零。

　　为了提高利润率，我们可以引入边际利润率的概念，设边际利润率为R，当边际产量方程等于1+R时，就会使最后一个单位肥料投入值产生一定的利润，其值为R。

　　2 介绍几种不同肥料和作物之间的效应方程

　　2.1单一肥料单一作物的肥料效应方程

　　下面分析的是施用一种肥料，种植一种作物的情况，此时的肥料效应二次回归方程为

　　（式中y为作物产量，x为肥料施用量）

　　肥料x对作物产量y的一阶导数，即边际产量方程为：

　　dy/dx = b + 2cx

　　当边际产量方程为0时，解出的x值就是最高产量施肥量xmax

　　b + 2cxmax = 0 x max = -b/2c

　　将xmax代回肥料效应方程，即可求得理论最高产量ymax

　　y max = a ? (b2/4c)

　　在这种简单情况下，令作物产品价格为Py，肥料价格为 Px，边际产值等于边际投入时就是经济上所允许的最大产量，用数学公式表示为：

　　dy×Py = dx×Px

　　因此边际产值方程为边际产量方程与作物肥料价格比的乘积。当边际产值方程等于1时，可求出最佳经济施肥量xe，则

　　整理得：

　　b + 2cxe = Px/Py xe =[( Px/Py) ? b]/2c

　　将xe代回肥料效应方程，可求得最佳经济施肥量ye

　　以下推出的回归方程系数形式特定产量表达式的书写形式都比较复杂，本文不再给出。

　　下面讨论经济合理施肥量和经济合理产量。首先，我们回顾一下边际利润率R。就是最后一个单位肥料投入增加值所能得到的利润，当R大于0时，所投入的最后一个单位肥料价值，又叫边际肥料价值能赚钱；当R小于0时就赔钱。当R为0.2~0.5时；相应的施肥量xR为

　　将xR代回肥效反应方程，可求得经济合理产量yR。此时肥料投入的最后一元钱仍可赚回1.2~1.5元，既0.2~0.5元的利润，或20%~50%的利润率。

　　2.2两种肥料一种作物的肥料效应方程

　　我们再来分析在一种作物上同时施用两种肥料的情况，此时肥料效应二次方程为：

　　式中y为作物产量，x1为第一种肥料施用量，x2为第二种肥料施用量，分别用x1和x2对产量y求一阶偏导数，得出它们的边际产量方程：

　　当两个边际产量方程都等于0时，解方程组可得到最高产量施肥量：

　　　　将(x1)max和(x2)max 代入肥效方程中可得到作物的理论最高产量ymax如下。

　　令作物产品价格为Py，肥料价格分别为Px1和Px2。用边际产值方程来求最佳经济施肥量(x1)e和(x2)e。

　　或

　　b1 +2c1x1 +c12x2 = Px1/Py

　　b2 +2c2x2 +c12x1= Px2/Py

　　求得：

　　将(x1)e和(x2)e代回肥效反应方程，可求出最佳经济产量ye。

　　求解经济合理施肥量时先设第一种肥料投入期望得到边际利润率R1，第二种肥料边际利润率R2（当然R1可以等于R2）。代入边际产值方程可得到

　　或

　　b1 +2c1x1 +c12x2 = Px1/Py（1 + R1）

　　b2 +2c2x2 +c12x1= Px2/Py（1 + R2）

　　当R1和R2为0.2~0.5时可解得经济合理施肥量

　　2.3交互作用、肥料增产趋势比较和肥料主效应方程

　　这里介绍从肥效反应方程衍生出来的其它几种定性观察的方法。

　　2.3.1交互作用

　　从肥效方程中两种肥料交互作用项c12x1x2的系数c12的正负可以看出两种肥料在这种作物大田试验当时当地特定条件下是表现为协同的正交互作用，还是拮抗的负交互作用。另外从c12的绝对值大小可看出交互作用的强弱程度。

　　2.3.2两种肥料增产趋势比较

　　用两种肥料的边际产量方程可比较它们的增产趋势大小（同样也可用边际产值方程，因为它们只差系数Px/Py，所以此处视同等价）。

　　比较两个边际产量方程中常数项b1和b2（即肥效方程中一次项系数），可以知道两种肥料最初施用时的起始增产幅度。数值大的起始增产幅度高。

　　比较两个边际产量方程中一次项系数c1和c2（即肥效方程中二次项系数），可以知道两种肥料随施肥量增加衰减的快慢程度。绝对值大者衰减得快，施用时要注意不要过量。

　　这种比较类似于几个不同地块上一种作物施用单一肥料，分别得出几个肥效回归方程时，比较方程间对应的各项系数可知肥料用在哪块地上更划算。

　　2.3.3肥料主效应方程

　　当一种作物上施用两种肥料时，为了了解其中任一种肥料对产量的增产作用，将肥效方程改写后减去截距a（a为除肥料外其它因素的产量效应），可以用来考虑在固定另一种肥料用量时该种肥料的主效应方程。其数学表达式为

　　Ex1 = (b2x2 +c2x22) + (b1 + c12x2)x1 + c1x12

　　其中第二种肥料用量x2是已给定值，因此式中b2x2+c2x22是常数项，b1+c12x2是一次项系数。给定不同的x2，可得到不同的主效应方程式。其中较有意义的x2值有(x2)max、(x2)e、(x2)R、(x2)0等。(x2)0=0，即第二种肥料用量为0。同理，可得到

　　Ex2 = (b1x1 +c1x12) + (b2 + c12x1)x2 + c2x22

　　肥料主效应方程还有一种重要作用。当两种肥料中其中任一种肥料投入量受到限制时，可用另一种肥料的主效应方程来求出另一种肥料的最高产量施肥量、最佳经济施肥量和经济合理施肥量等重要数据。

　　2.4 单一作物有限制地施用单一肥料的肥料效应方程

　　由于土壤肥力限制因素不同、水分条件不同、光热条件不同、土壤物理限制因素不同，同一种作物在不同地块和/或不同季节种植时，虽然施用同一种肥料，也会得到不同的产量反应方程。例如在A、B两块地上种植一种作物时的两条产量曲线分别为

　　在肥料使用不受数量限制时，可按第二节所介绍的方法分别计算出A、B两块地的(xA)max、(xB)max、(xA)e、(xB)e、(xA)R、(xB)R等。

　　但是如果没有充裕的资金购买足量肥料达到每块地的理想施肥量时，如何将有限的肥料分配在A、B两块地上使用呢？

　　先从A、B两块地上所能得到的产量总和考虑，即Σy = yA+yB。另外还知道两块地上使用的肥料总量Q = xA+xB。

　　∑y = aA + bAxA + cAxA2 + aB + bBxB + cBxB2

　　代入xB = Q - xA，并求xA对Σy的一阶导数，得到边际产量方程，令其等于0，可计算出 A地块最高产量施肥量

　　(bA ? bB ? 2cBQ) + 2(cA + cB)(xA)max = 0

　　同理，如果代入xB = Q - xA，得到B地块最高产量施肥量

　　当(xA)max或(xB)max小于0时，令其等于0后重新计算另一个的最高产量施肥量值（应为Q）。

　　将最高产量施肥量(xA)max和(xB)max代回各自的肥效反应方程可得到理论最高产量(yA)max和(yB)max以及y max 。

　　在得知产品价格Py和肥料价格Px后，利用产值总和公式ΣyPy = (yA+yB)Py求出边际产值公式，令其等于1，可计算出最佳经济施肥量。即

　　(bA ? bB ? 2cBQ) + 2(cA + cB)xA = Px/Py

　　解出

　　当(xA)e或(xB)e小于0时令其为0。将求出的最佳经济施肥量代入各自化肥效益反应方程可求出最佳经济产量(yA)e、(yB)e和ye。

　　当边际利润率=0.2~0.5时用边际产值方程或可求出经济合理施肥量。

　　 (bA ? bB ? 2cBQ) + 2(cA + cB)xA = Px/Py(1 + R)

　　解出

　　当(xA)R或(xB)R小于0时，令其为0，代入各自肥效方程可求得经济合理施肥量yR、(yA)R、(yB)R。

　　2.5两种作物施用一种肥料的肥效方程

　　当两种作物连作或在不同地块同时种植时，不同作物会对施用的肥料有不同的反应。得到不同的肥效反应方程。比如种A、B两种作物，它们的肥效反应方程为

　　在肥料用量可以同时满足两种作物的最高需求时，最高产量、最佳经济产量和经济合理产量及其相应的施肥量可根据A、B两种作物各自的肥效反应方程分别求出。当肥料总用量受到限制时，则需要按第2.4节描述的方法重新考虑这些问题，通过求A、B两种作物总产量的一阶导数，得到边际产量方程，可求得A作物和B作物的最高产量施肥量分别为：

　　当(xA)max或(xB)max小于0时，令其为0 ，将它们分别代入各自的肥效反应方程中可以求得最高产量ymax、(yA) max、(yB)max。

　　在得知A作物产品价格为PA、B作物产量价格为PB、肥料价格为PX后利用产值总和公式，

　　∑yPy = yAPA+ yBPB

　　A、B两种作物的肥效反应方程代入此式，两种作物所用肥料各用xA和xB表示

　　∑yPy = (aA + bAxA + cAxA2)PA + (aB + bBxB + cBxB2)PB

　　两种作物用肥总量为Q= xA+xB， 将xB=Q?xA代入上式

　　∑yPy = aAPA + (aB + bBQ + cBQ2)PB+ [bAPA - (bB + 2cBQ)PB] xA+ (cAPA + cBPB) xA2

　　求导得到边际产值公式，令其等于1，得到最佳经济施肥量。

　　得

　　同理可得 B作物的最佳经济施肥量

　　当(xA)e或(xB)e小于0时，令其为0。将(xA)e和(xB)e分别代入各自的肥效方程，得到最佳经济产量ye、(yA)e和(yB)e。

　　令边际利润为0.2~0.5，代入边际产值方程后得到两种作物的经济合理施肥量。

　　当(xA)R或(xB)R小于0时，令其为0 。将它们代回各自的肥效方程，得到经济合理产量yR、(yA)R和(yB)R。

　　我们可以进一步设想，如果两块地上种植同一种作物，但由于作物产品质量不同或收获季节不同而产生差价时，也可利用这里介绍的方法求得最佳经济产量和经济合理产量。

　　2.6两种作物有限制地施用两种肥料

　　当两种作物连作或在不同地块同时种植时，不同作物会对施用的两种肥料有不同的反应。以A、B两种作物为例，它们的肥效反应方程为

　　在两种肥料供应都充足的情况下可分别按计算出的最高产量或最佳经济或经济合理施用量，但如果受到资金限制，只能得到有限的肥料供应，则要重新安排两种作物的用肥量，假设第一种肥料总量Q1 = x1A+x1B，式中x1A和x1B分别为第一种肥料在A、B两种作物上的施用量。第二种肥料总用量Q2 = x2A+x2B，式中x2A和x2B分别为第二种肥料在A、B两种作物上的施用量。先求出两种作物产量总和Σy = yA+yB，然后将x1B = Q1?x1A和x2B = Q2?x2A代入

　　∑y = aA + bA1x1A + bA2x2A + cA1x1A2 + cA2x2A2 + cA12x1Ax2A + aB + bB1 (Q1 - x1A) + bB2 (Q2 ? x2A) + cB1(Q1 - x1A)2 + cB2(Q2 ? x2A)2 + cB12(Q1 - x1A)(Q2 ? x2A)

　　= aA + aB + bB1Q1 + bB2Q2 + cB1Q12 + cB2Q22 + cB12Q1Q2 + (bA1- bB1-2cB1Q1 - cB12Q2) x1A + (bA2- bB2-2cB2Q2 - cB12Q1) x2A + (cA1 + cB1)x1A2 + (cA2 + cB2)x2A2 + (cA12 + cB12)x1A x2A

　　两种肥料用量x1A和x2A分别对Σy求导，得到边际产量方程组，令其等于0，得

　　如果求出的数值小于0，令其等于0。依此方法，或用x1B = Q1-x1A； x2B = Q2-x2A，可进一步求出两种肥料在B种作物上的最高产量施肥量，代回肥效反应方程，可得到理论最高产量(yA)max、(yB)max和 ymax。

　　求两种作物产值总和ΣyPy = yAPA+yBPB，式中PA为A种作物产品价格，PB为B种作物产品价格。另外PX为小麦价格，将第一种肥料总用量Q1 = x1A+x1B，和第二种肥料总用量Q2 = x2A+x2B代入ΣyPy然后求出x1A和x2A对Σy的一阶导数。Σy的一阶导数等于1时，可得到最佳经济施肥量；Σy的一阶导数等于1+R时，可得到经济合理施肥量等，如果求出的数值小于0，令其等于0。代回肥效反应方程，可求得最佳经济产量和经济合理产量。因以系数表示的xmax表示式书写十分复杂，故略去。

　　2.7 三种肥料一种作物的肥料效应方程

　　在一种作物上同时施用三种肥料与施用两种肥料的情况相似，此时肥料效应二次方程为：

　　式中y为作物产量，x1为第一种肥料施用量，x2为第二种肥料施用量，x3为第种肥料施用量，分别用x1、x2和x3对产量y求一阶偏导数，得出它们的边际产量方程：

　　当三个边际产量方程都等于0时，解方程组可得到最高产量施肥量（x1）max、（x2）max 和（x3）max。

　　如果(x1)max、(x2)max 和(x3)max小于0时令其等于0。将(x1)max、(x2)max 和(x3)max代入肥效方程中可得到作物的理论最高产量ymax。

　　　　令作物产品价格为Py,肥料价格分别为Px1、Px2和Px3。用边际产值方程来求最佳经济施肥量(x1)e、(x2)e和(x3)e。进一步可求出经济合理施肥量(x1)R、(x2)R和(x3)R。因系数形式最佳经济施肥量和经济合理施肥量书写形式很复杂，故此处不予给出。