从三个角度探索集合方程的解的个数.doc

从三个方面探索集合方程的解的个数

魏烈斌 （湖北省荆州中学 434020）

若有序集合组满足集合方程， 则称为 的一个解.那么该方程有多少个解呢？本文利用一种探求思路从三个角度来探求该方程的解的个数.
事实上，若是的一个解，则集合的任意一个元素至少属于集合 的一个，于是元素与集合的一种确定的属于关系就对应于的一个解，而的一个解就对应于元素与集合的一种确定的属于关系.因此的解的个数就是元素与集合的确定的属于关系的种数.
角度一：元素可以是的元素，也可以不是的元素，但是必须属于中的一个，所以与集合的确定的属于关系共有种，故所有的元素与 的确定的属于关系共有种，从而的解的个数为.
角度二： 固定，设方程的解的个数为，可以通过建立的递推关系来导出.
当时，属于中的一个或几个，其确定的方法种数就是方程的解的个数.可以是的元素，也可以不是的元素，有两种方法，考察所有集合，那么与的确定的属于关系有种，于是.
假设的解的个数为，若为的一个解，把加入中的一个或几个，就得到的一个解.由于可加入，也可以不加入，从而是否加入有两种不同的方法，考察所有集合，但是必须加入中的一个或几个，那么把加入中的一个或几个的方法共有种.所以的一个解就产生的个解，故，从而数列是以为首项、为公比的等比数列，因此.
角度三：构造矩阵，规定：，，考察所有元素与的属于关系，得到矩阵：

这个矩阵的每一行的个数中至少有一个不为零，每一个数取或者，并且第行的一组取值就对应于元素与集合的一种确定的属于关系，因此矩阵的个数就是方程的解的个数.只要确定矩阵的每一行，矩阵就能确定，而每一行的确定方法有种，故矩阵的个数为，所以方程的解的个数为.
上述探索说明：
定理：集合方程的解的个数为.

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