课时跟踪检测(五十七) 模拟方法.doc

课时跟踪检测(五十七)　模拟方法

第Ⅰ组：全员必做题
1．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是(　　)
A．1 B. C. D.
3.如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.如图，圆的直径是正方形边长的一半，圆位于正方形的内部．现随意地将飞镖掷向正方形内，则飞镖击中圆面部分的概率是(　　)
A. B. C. D.
5．(2014·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为(　　)
A. B. C. D.
6．(2013·昆明质检)在区间[0,10]上任取一个实数a，使得不等式2x2－ax＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．
7.(2014·苏锡常镇四市一调)如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点(假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的)，则该点落在半圆内的概率为________．
8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．

9．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
(ⅰ)记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；
(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．

10.设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝.
(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；
(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．

第Ⅱ组：重点选做题
1．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)
A. B. C. D.
2．在体积为V的三棱锥S­ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S­APC的体积大于的概率是________．

答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选B　依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于＝.
2．选C　将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0，则所求概率P＝＝.
3．选D　由题意知，当MN＝R时，∠MON＝，所以所求概率为＝.
4．选D　设圆的半径为1，则正方形的边长为4，有正方形的面积为16，圆的面积为π，根据题意，飞镖击中圆面部分的概率即圆的面积与正方形的面积比，即其概率为，选D.
5.选B　方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，
故
即化简得又a∈[1,5]，b∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故所求的概率P＝＝.
6．解析：要使2x2－ax＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax≤2x2＋8，即a≤2x＋在(0，＋∞)上恒成立．又2x＋≥2＝8，当且仅当x＝2时等号成立，故只需a≤8，因此0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为＝.
答案：
7．解析：由题知该点落在半圆内的概率为＝.
答案：
8．解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，
故长方体的体积为1×1×3＝3.
答案：3
9．解：(1)依题意＝，得n＝2.
(2)(ⅰ)记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a＋b＝2”的有4种：(s，k)，(s，h)(k，s)，(h，s)．所以所求概率为P(A)＝＝.
(ⅱ)记“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2＞4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B＝{(x，y)|x2＋y2＞4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝1－.
10．解析：(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，则|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有：
x－，x＋，x＋，
4x－，4x＋，4x＋，
共6种且每种情况被取到的可能性相同．
又当a＞0，b＞0时ax＋在0, 上递减；在，＋∞上递增；
x－和4x－在(0，＋∞)上递增，
∴对x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－，
故事件A包含的结果有4种，
∴P(A)＝＝，故所求概率是.
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
∵a是从区间[1,4]中任取的数，b是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．
要使x∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，
需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8
且f(2)＋g(2)＝2a＋≤8，
∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P(B)＝＝，故所求的概率是.
第Ⅱ组：重点选做题
1.选D　根据题意作出满足条件的几何图形求解．
如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是.
2.解析：由题意可知>，三棱锥S­ABC的高与三棱锥S­APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所以＝＝>，又＝，所以>，故所求的概率为(即为长度之比)．
答案：