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实验四 时域抽样与频域抽样
一、实验目的
加深理解连续时间信号的离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握时域抽样定理的基本内容。掌握由抽样序列重建原连续信号的基本原理与实现方法，理解其工程概念。加深理解频谱离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握频域抽样定理的基本内容。

二、 实验原理
时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信号不失真的约束条件：对于基带信号，信号抽样频率大于等于2倍的信号最高频率，即。
时域抽样是把连续信号x(t)变成适于数字系统处理的离散信号x[k] ；信号重建是将离散信号x[k]转换为连续时间信号x(t)。
非周期离散信号的频谱是连续的周期谱。计算机在分析离散信号的频谱时，必须将其连续频谱离散化。频域抽样定理给出了连续频谱抽样过程中信号不失真的约束条件。

三．实验内容
1. 为了观察连续信号时域抽样时抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。

（1）
t0 = 0:0.001:0.1;
x0 =cos(2*pi*10*t0);
plot(t0,x0,'r')
hold on
Fs = 50;
t=0:1/Fs:0.1;
x=cos(2*pi*10*t);
stem(t,x);
hold off
title('x1(t)及其抽样信号')

（2）
t0 = 0:0.001:0.1;
x0 =cos(2*pi*50*t0);
plot(t0,x0,'r')
hold on
Fs = 50;
t=0:1/Fs:0.1;
x=cos(2*pi*50*t);
stem(t,x);
hold off
title('x1(t)及其抽样信号')

（3）
t0 = 0:0.001:0.1;
x0 =cos(2*pi*100*t0);
plot(t0,x0,'r')
hold on
Fs = 50;
t=0:1/Fs:0.1;
x=cos(2*pi*100*t);
stem(t,x);
hold off
title('x1(t)及其抽样信号')

x1(t)的最高谐波频率是10，x2(t)最高谐波频率是50，x3(t)的最高频率是100，根据采样定理，采样频率至少是最高频率的两倍，题目给出的采样频率是50hz，大于x1(t)的最高谐波频率的两倍，但是小于x2(t)和x3(t)的最高谐波频率的两倍，所以对后面两个信号的采样已经失真。可以尽量增大采样频率，但要保证信号不失真。

2. 产生幅度调制信号，推导其频率特性，确定抽样频率，并会吹波形。
X(t)的频率为101hz，当抽样频率取101hz时，程序如下：
t0=0:0.0001:1;
x0=cos(2*pi*t0).*cos(200*pi*t0);
plot(t0,x0,'r')
hold on
fs=101;
t=0:1/fs:1;
x=cos(2*pi*t).*cos(200*pi*t);
stem(t,x);
hold off
title('x(t)及其抽样信号')

当抽样频率为202hz时

当抽样频率再增大时，蓝色离散信号曲线越来越逼近红色X（t）的曲线，下图为抽样函数为频率为3232hz时

3. 对连续信号进行抽样以得到离散序列，并进行重建。
(1) 生成信号，时间t=0:0.001:4，画出的波形。
(2) 以对信号进行抽样，画出在范围内的抽样序列x[k]；利用抽样内插函数恢复连续时间信号，画出重建信号的波形。与是否相同，为什么？
(3) 将抽样频率改为，重做(2)。
（1）
t0=0:0.0001:4;
x0=cos(4*pi*t0);
plot(t0,x0,'r')
title('x(t)')

（2）
fs=10;
t=0:1/fs:1;
x=cos(4*pi*t);
stem(t,x);
title('x[k]')

ts=1/fs
dt=ts/50;
t1=0:dt:4;
tp=4;
n=0:tp/ts;
tmn=ones(length(n),1)*t1-n'*ts*ones(1,length(t1));
xr1=sinc(fs*tmn);
x2=x*xr1;
subplot(2,1,2)
plot(t1,x2);
title('恢复信号');

Xr(t)与X(t)的波形几乎一样，因为采样频率为10，大于函数最高谐波频率的两倍。
（3）
t0=0:0.001:4;
x0=cos(2*pi*2*t0);
subplot(2,1,1)
plot(t0,x0,'r')
hold on
Fs=3;
t=0:1/Fs:4;
x=cos(2*pi*2*t);
stem(t,x);
hold off
title('连续信号及其抽样信号')
ts=1/Fs
dt=ts/50;
t1=0:dt:4;
tp=4;
n=0:tp/ts;
tmn=ones(length(n),1)*t1-n'*ts*ones(1,length(t1));
xr1=sinc(Fs*tmn);
x2=x*xr1;
subplot(2,1,2)
plot(t1,x2);
title('恢复信号');

恢复信号的图形与原信号不同，说明信号已经失真，原因是采样频率小于函数最高谐波频率的两倍。

四. 实验思考题
1. 将语音信号转换为数字信号时，抽样频率一般应是多少？
答：因为语音信号的频率在20Hz—20KHz之间，因此抽样频率应该不小于40KHz。
2. 在时域抽样过程中，会出现哪些误差？如何克服或改善？
答：在时域抽样过程中，可能会发生混叠现象。改善措施：对于带限信号，只要提高抽样频率使之满足时域抽样定理；对于非带限信号，可以根据实际情况对其进行低通滤波，保留信号90%以上能量的频谱，使之成为带限信号。工程中的信号一般都不是带限信号，连续信号在抽样前通常都先通过一个低通滤波器，以减少混叠误差。
3. 在实际应用中，为何一般选取抽样频率³(3~5)？
答：保证不会出现欠采样现象。
4. 简述带通信号抽样和欠抽样的原理？
答：若采样频率fs>2fmax，则进行抽样；当fs<2fmax时，同样也会因采样不足发生混叠现象，欠抽样情况出现。
5. 如何选取被分析的连续信号的长度?
6. 增加抽样序列x[k]的长度，能否改善重建信号的质量？
答：能
7. 简述构造内插函数的基本原则和方法？
答：内插是一个常用的由样本值来重建某一函数的过程，这一重建结果可以是近似的也可以是完全准确的。内插函数的选择应视具体的实际要求而定。方法：带限内插：利用低通滤波器的单位冲激响应的内插方法；零阶保持：在一个给定的瞬时对信号采样，并保持这一样本值直到下一个样本被采到为止；线性内插：将相邻的样本点用直线直接连起来；高阶保持：相较于零阶保持，采用更为平滑的内插手段。

8. 抽样内插函数、阶梯内插函数、线性内插函数、升余弦内插函数各有什么特性？
答：(1)如果选择对理想特性足够近似的非理想滤波器，则抽样内插函数可以比较精确的根据离散序列重建连续时间信号；
(2)使用阶梯内插函数进行内插是一种很粗糙的样本值之间的内插，但是在实质上，它也代表了一种可能；
(3)使用线性内插函数进行内插就是将相邻的样本点用直线直接连起来，这种内插方式在很多情况下可以满足工程上内插精度的要求；
(4)使用升余弦函数进行内插是在样本值之间做较为平滑的内插。