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一道习题的变式

浦东新区彭镇中学 王国新

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利用课本上的习题，探索多种解法，进行多种变式，是对学生进行学习方法和学习能力的培养，也是数学教学中常用的方法，可以快速提高学生的解题能力。对上海版八年级（试用本）第一学期课本中的一道题（P页第1题）的教学，可利用该题进行一题多解、一题多变，能取得更好的教学效果。
原题：已知：如图（1），在△ABC中，∠C＝90°、D为直角边AC上的一点、BD平分∠ABC、AD＝2CD
求证：（1）∠A＝30°， （2）点D在线段AB的垂直平分线上。
分析：（1）由已知AD＝2CD，要证∠A＝30°，只须以AD为斜边、CD为直角边，构造一个直角三角形，可证。（2）要证点D在线段AB的垂直平分线上，只须证AD＝BD即可得证。
图（1）
证法一：（1）过点D作线段AB的垂线DE，E为垂足。
∵ ∠C＝90°，BD平分∠ABC （已知）
∴ DC＝DE （ 角平分线性质）
∵ AD＝2CD （已知）
∴ AD＝2DE （等量代换）
∴∠A＝30° （直角三角形中，如果一条直角边等于
斜边一半，那么这条直角边所对的角等于30°）
（2）∵∠C＝90° ∠A＝30°
∴ ∠ABC＝60°
∵ BD平分∠ABC （已知）
∴ ∠ABD＝∠CBD＝30°（ 角平分线定义）
∴ ∠A＝∠ABD ＝30°（等量代换）
∴ AD＝BD （等角对等边）
∴ 点D在线段AB的垂直平分线上。（和线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

证法二：（1）在线段AB上取一点E，使BC＝BE，连接DE
∵ BD平分∠ABC （已知）
∴∠CBD＝∠EBD（ 角平分线定义）
在△CBD和△EBD中

∴ △CBD≌△EBD （SAS）
∴ ∠C＝∠BED＝90°（全等三角形对应角相等）
CD＝ED（全等三角形对应边相等）
∵ AD＝2CD（已知）
∴ AD＝2ED（等量代换）
∴ ∠A＝30° （直角三角形中，如果一条直角边等于斜边一半，那么这条直角边所对的角等于30°）

证法三 （1）把△CBD绕直线BD翻折，则线段BC落在AB上（为什么？），点C与点E重合，CD与ED重合，CD＝ED，∠C＝∠BED＝90°
∵ AD＝2CD（已知）
∴ AD＝2ED（等量代换）
∴∠A＝30° （直角三角形中，如果一条直角边等于斜边一半，那么这条直角边所对的角等于30°）

把原题做如下改编
1．题设不变，结论改为BC＝AB。只须证明∠A＝30°证明方法同上。

2．把题设中的“AD＝2CD”和结论中的“∠A＝30°”对调
已知：如图（1），在△ABC中，∠C＝90°、D为 直角 边AC上的一点、 BD平分∠ABC、∠A＝30°
求证：AD＝2CD
分析：作DE⊥AB于E，则AD＝2DE，在证DC＝DE
证明：作DE⊥AB于E
∵ ∠A＝30°（已知）
∴ AD＝2DE（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
∵ BD平分∠ABC，∠C＝90°（已知） DE⊥AB （已作）
∴ CD＝ED （ 角平分线性质）
∴ AD＝2CD（等量代换）

3．把题设中的“AD＝2CD”和结论中的“（2）点D在线段AB的垂直平分线上”对调就是课本练习第3题。
图（2）
已知：如图（2），在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE垂直平分AB

求证：AD＝2CD
分析：由已知∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE垂直平分AB
可得 CD＝ED （ 角平分线性质） ，只须证明∠A＝30°
证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB（已知）
∴ CD＝ED （ 角平分线性质）
∵ DE垂直平分AB（已知）
∴ AD＝BD（线段垂直平分线性质）
∴ ∠A＝∠ABD（等边对等角）
∵，BD平分∠ABC（已知）
∴∠CBD＝∠ABD（角平分线定义）
∵∠A+∠ABC＝90°（直角三角形性质）
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°
∴AD＝2DE（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
∴AD＝2CD（等量代换）

4．把题设中的“BD平分∠ABC”和结论中的“（1）∠A＝30°”对调
已知：如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，D为直角边AC上的一点，AD＝2CD，∠A＝30°。
求证：BD平分∠ABC
分析：作DE⊥AB于E，要证BD平分∠ABC，只须证明CD＝ED
证明： DE垂直平分AB，∠A＝30°（已知）
∴ AD＝2DE（直角三角形中，30°角所对的直角边的等于斜边的一半）
∵ AD＝2CD（已知）
∴ CD＝ED（等量代换）

A

E

D

C B
（4）

∵ ∠C＝90°（已知）
DE⊥AB （已作）
∴ BD平分∠ABC （到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）

5．把题设中的“BD平分∠ABC”和结论中的“（2）
点D在线段AB的垂直平分线上”对调。
已知：如图（2），在△ABC中，∠C＝90°，D为直角边上的一点，AD＝2CD，DE垂直平分AB
求证：BD平分∠ABC
分析：证明∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°
证明：∵DE垂直平分AB（已知）
∴ AD＝BD（线段垂直平分线性质）
∴ ∠A＝∠ABD（等边对等角）
∵ AD＝2CD（已知）
∴ BD＝2CD（等量代换）
∴ ∠CBD＝30°（直角三角形中，如果一条直角边等于斜边一半，那么这条直角边所对的角等于30°）
∵∠A+∠ABC＝90°（直角三角形性质）
∴ ∠A+∠ABD＝60°
∴ ∠ABD＝∠A＝30°
∴∠CBD＝∠ABD＝30°（等量代换）
∴BD平分∠ABC（角平分线定义）

6．把题设中的“BD平分∠ABC，AD＝2CD”和结论中的“（1）∠A＝30°，（2）点D在线段AB的垂直平分线上”同时对调
已知：如图（2），在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D为直角边AC上的一点，DE垂直平分AB
求证：（1） BD平分∠ABC， （2）AD＝2CD 。
分析：（1） 要证BD平分∠ABC，只须证明，∠CBD＝∠EBD，既∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，（2）由已知，AD＝2DE，要证AD＝2CD，只须证明，CD＝ED即可得证。
证明：（1）∵ DE垂直平分AB，∠A＝30°（已知）
∴ AD＝BD（线段垂直平分线性质）
∴ ∠ABD＝∠A＝30°（等边对等角）
∵ ∠C＝90°，∠A＝30°（已知）
∴ ∠ABC＝60°(三角形性质)
∴ ∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°
∴ BD平分∠ABC（ 角平分线定义）
（2）∵DE垂直平分AB，∠A＝30°（已知）
∴ AD＝2DE（直角三角形中，30°角所对的直角边的等于斜边的一半）
由（1）BD平分∠ABC
∵∠C＝90°，DEAB（已知）
∴ CD＝ED（ 角平分线性质）
∴ AD＝2CD（等量代换）

本题还可以变式为：
1．已知：如图（3），在△ABC中，∠C＝90°、D为直角边AC上的一点、BD平分∠ABC、AD＝2CD
求证：BC＝CD
2．已知：如图（3）在△ABC中，∠C＝90°、D为直角边AC上的一点，BD平分∠ABC ，BC＝CD
求证：AD＝2CD
、 3已知：如图（3）在△ABC中，∠C＝90°、D为直角边AC上的一点，AC＝BC，
AD＝2CD
求证：BD平分∠ABC。
4已知：如图（3）在△ABC中，∠C＝90°、D为直角边AC上的一点，AC＝BC
DE垂直平分AB。
求证：AD＝2CD。
图（3）
5已知：如图（3）在△ABC中，∠C＝90°、D为直角边AC上的一点，DE垂直平分AB， BC＝CD。
求证：BD平分∠ABC。
以上题目的证明方法可利用勾股定理。

总之，利用对习题的多种解法和多种变式的训练，可以提
高学生的分析问题和解决问题的能力，更好地培养学生的逻辑
思维能力，取得较好的教学效果。