例说解答“解析几何”题时常见的小误区.doc

例说解答“解析几何”题时常见的小误区
湖北省荆州中学 鄢文俊

在高中数学知识的学习中，解析几何一直是一个非常重要的知识点。解析几何在问题的繁难和灵活多变等方面，学生们通过努力学习都可以取得一些很好的突破，但在考试得分上却又总是不太理想。在分析原因时，大多学生总会以为是由一些偶然因素——粗心大意造成的，但其实却是因为一些没引起注意的误区而“必然”形成了这些失误……

一、直线的倾斜角与斜率 对直线倾斜角定义掌握不准确，忽视斜率不存在的情况导致误判或漏解。
1. 直线的倾斜角的取值范围为__________。
错因 ①直线倾斜角定义，倾斜角的范围掌握不准确；②遗漏斜率不存在的情况；③由斜率范围推导倾斜角的范围时出现错误。
正解 ①当时，；
②当时，，由得，
故倾斜角的取值范围为。

2. 过点且与圆相切的直线方程是___________。
错解 设过点的直线方程为，即，
由得：，故所求的直线方程是。
分析 设过点的直线方程为，忽视斜率不存在的情况。
正解 （1）当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时与圆相切。
（2）当过点的直线斜率存在时，设过点的直线方程为，即，由得：，方程为。
综合得，所求所求的直线方程是或。，
点拨 当点在圆外时，过点一定可作圆的两条切线（发现漏解，及时补全）；当点在圆上时，只能作一条以该点为切点的切线；当点在内时，过点不能作圆的切线。

3. 已知椭圆，为椭圆的右焦点，直线过原点交椭圆于两点。求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。
错解 设两点坐标分别为,
椭圆的右准线方程为，由椭圆第二定义得
所以 ………（*）
设直线的方程为，代入椭圆方程消整理得：，
于是有
代入(*)式得
所以有最小值3,无最大值。
分析 设过原点的直线方程中忽视了斜率不存在的情况。
正解 （1）当的斜率不存在时，即有
（2）（同上述错解中的步骤）
所以有最小值为，最大值为。
点拨 解有关直线与圆锥曲线的位置关系问题时，学生往往遗漏直线斜率不存在情况，而这种情况因其特殊性而很容易作答与得分，要优先考虑且优先作答。

二、圆的方程 圆的标准方程的“标准性”与一般方程中的“必要条件”容易忽视。
1.已知圆的圆心在直线上，则 。
错解 圆的圆心坐标为，
由得：，于是或。
分析 圆的一般方程的必要条件中要求，否则该方程不能作为圆的方程。
正解 由得，
又圆的圆心在直线上，
由，即，于是或（舍）。故。
点拨 若题中给定的圆是一般方程的形式并且含有参数时，要留意这一必要条件。

2. 已知点，圆，当圆与线段没有公共点时，求的取值范围。
错解 将题中的实数当成了圆的半径，误认为。
分析 在表示圆的标准方程时，约定半径为，利用其它字母表示时，要注意范围。
正解 设，由题意得：，
即 ，于是。
点拨 遵守约定俗成的表达方式，在表达方式中出现另类模式时，如本题中原本是，而改变成了，又如抛物线中的“”原本是“”等，要注意可能产生的陷阱。

三、圆锥曲线 注重对椭圆、双曲线及抛物线定义的正确解读；在使用曲线与直线方程联立解题时一定要细致运算，同时要正确使用韦达定理，并适时利用判别式加以检验。
1.抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
错解 选B。
分析 把方程当成标准方程。
正解 选D。
点拨 二次函数的图象为抛物线，在学习二次函数时的侧重点是函数知识，其解析式为。而圆锥曲线中的抛物线的标准方程为或。对于抛物线来说，其焦点坐标为，准线方程为；对于抛物线来说，其焦点坐标为，准线方程为。

2.求经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程。
错解 （1）当不存在时，直线满足题意。
（2）当存在时，设所求直线方程为，代入双曲线方程得，

由得，，可得直线方程为，
故所求的直线方程为或。
分析 在错解的（2）中，利用判别式的前提是要确方程是一元二次方程，否则会产生漏解。
正解 （1）当不存在时，直线满足题意。
（2）当存在时，设所求直线方程为，代入双曲线方程得，

①当时，直线方程为，与双曲线只有一个公共点。
②当时，直线方程为，与双曲线只有一个公共点。
③当直线和双曲线相切时，由，得，可得直线方程为
故经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程有四条，它们分别为：，，，。
点拨 正解中的两条直线，，实际上是过点且与该双曲线平行的直线，很显然，这样的直线与双曲线一定只能有一个交点。

3. 已知双曲线,过点且被其平分的弦所在直线方程是（ ）
A. B. C. D. 不存在
错解 设所求弦所在的直线为，它与双曲线交于两点，因为为线段的中点，于是有，
则，由整理得
所以符合题设条件的直线存在，其直线方程为：，即，
故选A。
分析 错解中由（1）（2）两式可推出（3）式，但由（3）式不能反推出（1）（2）两式，因此在运算中可能会出现不等价——命题涉及的范围放大了，故应对所求直线进行检验，采取补救措施。
正解 应在上述解题的基础上，再由得，此方程无解。说明所求直线不存在。故应选D。
点拨 在解析几何的代数运算中，常常会出现常规的变形或运算，要时刻留意等价性——充要关系。在进行了不等价的运算后，要及时采取补救措施，把遗漏的补全，把增加的舍掉。

4. 已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。
错解 设动圆圆心坐标为，半径为，由题意得两圆圆心坐标分别为，半径分别为，则,
所以,即
化简得，即为所求动圆圆心的轨迹方程。
分析 错解中将看成，误把动圆圆心的轨迹变成了双曲线，这是由对双曲线的定义理解不清所致。
正解 事实上，只能表示其双曲线右支，即所求的方程中应增加。
点拨 在解析几何中由与圆相切（内切，外切）而引起的轨迹问题，经常可以用圆锥曲线定义直接解题，但需注意正确运用，防止出现遗漏或增加。

5. 在中，，，是线段的垂直平分线上的一点，到的距离为2，过点的曲线上任一点满足为常数。
（1）建立适当的坐标系，并求出曲线的方程。
（2）过点的直线与曲线相交于不同的两点，且点在之间，若，求的取值范围。
正解 （1）(过程从略)
（2）①当与轴重合时，
②当与轴不重合时，设过的直线的方程为：，
由得：（易错点）
，
（易漏点） ∴，
又由得：（如何变为求的范围——难点）
（易错点）
∴，∴，∵（易遗漏点）,∴,
综上，（易忘点）
点拨 在解答这一类解析几何题时，发现其思路大致成为了一些固定的模式，如“点差法”，“相关点法”，“韦达定理法”等，但看似会处理的问题往往得分不尽人意，需要在类似上题解答中的一些易错易漏点上好好把握，避免在会做的题上失分。