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综合应用
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例1、如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

例2如图，在中，∠°，, 的面积为，点为边上的任意一点(不与、重合)，过点作∥，交于点．设以为折线将△翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为y.
（1）．用x表示∆ADE的面积;
（2）．求出﹤≤时y与x的函数关系式；
（3）．求出﹤﹤时y与x的函数关系式；
（4）．当取何值时，的值最大？最大值是多少？

练习1 如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝．(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；
C
x
x
y
y
A
O
B
E
D
A
C
B
C
D
G
图1
图2
(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

练习2如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．
A
B
C
D
（备用图1）
A
B
C
D
（备用图2）
Q
A
B
C
D
l
M
P

E

练习3如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。
M
（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

例1:：
解：（1）设二次函数的解析式为：
∵顶点C的横坐标为4，且AB=4，过点（0，）
∴A（1，0），B（7，0），解得
∴二次函数的解析式为：
（2）∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P，设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD， ∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO ∴ ∴
∴点P的坐标为（4，）
（3）由（1）知点C（4，），又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cot∠ACM= ，
∴∠ACM=60°，∵AC=BC，∴∠ACB=120o
① 当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°，∴QN=3，BN=3，ON=10，
此时点Q（10，），如果AB=AQ，由对称性知Q（-2，）
② 当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是（4，），
经检验，点（10，）与（-2，）都在抛物线上
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为（10，）或（-2，）或（4，）．
例2
解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC， ∴，即 3分
(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5
∴当0﹤ 时 3分
（3）﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S△A'DE=S△ADE=
∴DE边上的高AH=AH'= ,由已知求得AF=5
∴A'F=AA'-AF=x-5, 由△A'MN∽△A'DE知
,
∴ 3分

（4）在函数中
∵0﹤x≤5
∴当x=5时y最大为： 1分
在函数中
当时y最大为： 1分
∵﹤
∴当时，y最大为： 1分

练习1．（1）
由已知得：C（0，－3），A（－1，0）
设该表达式为：
将C点的坐标代入得：
所以这个二次函数的表达式为：
（2）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），
则N（r+1，－r），
代入抛物线的表达式，解得
∴圆的半径为或．
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为．
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．

当时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为，．

练习2．
解：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形．
Q
A
B
C
D
l
M
P
（第24题）
E
F
∴，．
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分
∴．
即，∴．……3分
（2）∵为锐角，故有两种情况：
①当时，点P与点E重合．
此时，即，∴．……5分
②当时，如备用图1，
A
B
C
D
（备用图1）
Q
P
E
l
M
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴．
由（1）知，，
而，
∴． ∴．
综上所述，或．……8分（说明：未综述，不扣分）
（3）为定值．……9分
当＞2时，如备用图2，
A
B
C
D
（备用图2）
M
Q
R
F
P
．
由（1）得，．
∴． ∴．
∴． ∴．
∴四边形AMQP为矩形． ∴∥．……11分
∴△CRQ∽△CAB．
∴．……12分

练习3解：（1）由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为
又抛物线经过点N（2，3），所以解得
所以所求抛物线的解析式为
令＝0，得解得：。
得A（－1，0） B（3，0）；
令x＝0，得y＝3，所以 C（0，3）.
（2）直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k=1，t=3
直线解析式为y=x+3.
令y=0，得x=-3，故D（-3，0） CD=3
连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F.
设过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n，
则，解得m=1，n=1
所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1，所以DC∥AN.
在Rt△ANF中，AN=3，NF=3，所以AN=3，所以DC=AN。
因此四边形CDAN是平行四边形.
（3）假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，） 其中>0，则PA是圆的半径且
过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，
由P(1,u)得，
由得方程：，解得=-4±2，
舍去负值＝-4=-2，符合题意的=-4+2，
所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，-4+2）.

已知抛物线交轴于、，交轴于点，其顶点为．
　（1）求、的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接，过点作直线交抛物线的对称轴于点．求证：四边形是等腰梯形；

（3）问Q抛物线上是否存在点，使得△OBQ的面积等于四边形的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由OC=OB=3，知C
连接AC，在Rt△AOC中，OA=OC×tan∠ACO=，故A
设所求二次函数的表达式为
将C代入得，解得，
∴这个二次函数的表达式为。
（2）解法一：①当直线MN在x轴上方时，设所求圆的半径为R（R>0），设M在N的左侧，
∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴上，
∴N（R+1，R）代入中得
，解得。
②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为，由①可知N，代入抛物线方程可得。
（2）解法二：①当直线MN在x轴上方时，设所求⊙的半径为R（R>0）,，则和是方程的两根
∴△=
由得，
∴。解得。
②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为，，则和是方程的两根
∴△=，解得。
由得，
∴。解得。
又∵，∴ 。
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
把G（2，y）代入抛物线的解析式得G。
由A可得直线AG的方程为
设，则，，

当时，△APG的面积最大。
此时P点的坐标为，△APG的面积最大值为。
（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2 ………………3分
(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE
∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），
∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD
∴四边形ODBE是梯形 ………………5分
在和中，
OD= ，BE=
∴OD= BE
∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分

(3) 存在， ………………8分
由题意得： ………………9分
设点Q坐标为（x，y），
由题意得：=
∴
当y=1时，即，∴ ， ，
∴Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) ………………11分
当y=-1时，即， ∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）
使得=． ………………12分

E
F
Q1
Q3
Q2

13