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特征方程法求数列的通项公式

求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.
1.已知数列满足......① 其中.
定义1:方程为①的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为.
定理1:若且,则.
证明:

证毕
定理2: 若且,则.
证明:

证毕
例1: （09·江西·理·22）各项均为正数的数列,,且对满足的正数都有.
(1)当时,求通项;(2)略.
解:由得
将代入上式化简得
考虑特征方程得特征根
所以
所以数列是以为首项,公比为的等比数列
故 即
例2:已知数列满足,求通项.
解: 考虑特征方程得特征根

所以数列是以为首项,公差为1的等差数列
故 即
2.已知数列满足......② 其中为常数,且.
定义2:方程为②的特征方程,该方程的根称为数列的特征根,记为.
定理3:若,则,其中常数,且满足.
定理4: 若,则,其中常数,且满足.
例3:已知数列满足,求通项.
解: 考虑特征方程得特征根
则
其中
例4:已知数列满足,求通项.
解: 考虑特征方程得特征根
则
其中