第五章-相似矩阵及二次型答案.doc

线性代数习题集答案：第五章相似矩阵及二次型（A）1、（1）不是；（2）是。2、。3、（1）；（2）。4、（1）；（2）；（3）。5、设是的特征值，则，所以也是的特征值。6、设是对称矩阵，即，若与B合同，即可逆，使，也是对称矩阵。7、反证：若的特征值均非零，可设为A的n个特征值，则，得可逆，这与条件不可逆矛盾，所以必有特征值为0。8、。9、。10、（1）； （2）。11、（1）；（2）。12、。13、（1）； （2）。14、配方法：（1）；配方法：（2）； 配方法：(3) 。15、（1）；（2）。（B）1. 。2. A的特征值分别为1，2，5，所以A可以相似对角化，且。3. 解空间的标准正交基为；与解空间正交的向量为。4. 。5. 证明：所以，1是A的特征值。6. ，特征值为：1、1、10，所以标准形为，曲面为旋转椭球面。7. 提示：A正定正定，而，且，所以的所有特征值均大于0，所以A正定。8. 证明：“”：A正定，可逆矩阵P，使即且U可逆，所以A合同于E；“”：若，作，若，由U可逆，有所以正定，所以A正定。9. 证明：有正交变换，使得而，另，不妨设，取，则，（C）1. 证明：由，所以B是正定矩阵。2. 证明：（1）由条件，由A、B是实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q、R，成立，由A与B相似，所以A与B具有相同的特征值重集，故可设，所以，A与B合同；（2） 反例： ，A与B的特征值重集不相同，所以A与B不相似，但A与B合同。3. 证明：（1）；（2）设方程组的基础解系为，方程组的基础解系为。下证向量组，线性无关：设等式两边同时左乘矩阵A，有，得，所以向量组，线性无关而是A的属于特征值0的特征向量，是A的属于特征值1的特征向量，所以A的n个线性无关的特征向量，所以A可以相似对角化；（3）由A的特征值为重集，所以AE的特征值为1或2，即A的所有特征值均大于0，所以A是右逆矩阵。4. 证明：设A的特征值为，B的特征值为，由A正定，B半正定，有。而，；若要等式成立，充要条件为即。5. 证明：，所以，1是A的一个特征值。5