角的概念推广.doc

【课题】5．1 角的概念推广
【教学目标】
知识目标：
⑴ 了解角的概念推广的实际背景意义；
⑵ 理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．
能力目标：
（1）会判断角所在的象限；
（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；
（3）培养观察能力和计算技能．
【教学重点】
终边相同角的概念．
【教学难点】
终边相同角的表示和确定．
【教学设计】
（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；
（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；
（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．
【教学备品】
教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
*揭示课题
5.1角的概念推广
*创设情景 兴趣导入
问题1
游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？
问题2
用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角 ；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于 的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向 的角．
归纳
通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．

介绍

质疑

提问

说明

总结

了解

思考

求解

讨论

交流

理解
利用
实际
问题
引起
学生
的好
奇心
和求
知欲

生活
实例
有助
于学
生理
解角
的推
广的
意义

10
*动脑思考 探索新知
概念
一条射线由原来的位置，绕着它的端点，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置就形成角．旋转开始位置的射线叫角的始边，终止位置的射线叫做角的终边，端点叫做角的顶点．
规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．

（1） （2）
类型
经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．
表示
除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠AOB”或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母、、、来表示角．
概念
数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．
如图所示，30°、390°、−330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，−120°是第三象限的角，−60°、300°都是第四象限的角．

终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．

说明

仔细
分析
讲解
关键
点

引导

强调

引导

展示

强调

思考

理解

记忆

明确

领会

观察

理解

结合
图形
讲解
角的
图形
可以
加入
学生
的举
例

明确
角的
类型
完成
角的
推广

象限
角可
以引
导学
生一
步步
自然
得出

强调
特殊
情况

30
*运用知识 强化练习
教材练习5.1.1
2．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：
⑴ 60°； ⑵ −210°； ⑶ 225°； ⑷ −300°．

提问
巡视

指导

思考
动手
求解
交流
反馈
学习
状态
巩固
知识

40
*动手操作 实验观察
用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征．
*问题引导 实践探究
问题
在直角坐标系中作出390°、−330°和30°角，这些角的终边有何关系？
探究
390°=30°+1×360° ； −330°=30°+（-1）×360°．
即390°、−330°与30°角之差都是360°角的整数倍数，它们是射线绕坐标原点旋转到30°角的终边位置后，分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角．
推广
与30°角终边相同的角还有：
750°=30°+2×360°； -690°=30°+（-2）×360°；
1110°=30°+3×360°； -1050°=30°+（-3）×360°；
…… ……
所有与30°角终边相同的角的度数，与30°角的度数之差都恰好为360°的整数倍数．它们（包括30°角）都可以表示为30°+360°的形式．因此，与30°角终边相同的角的集合为｛︱｝．

演示
操作

质疑

提问

引导

分析

讲解

总结

动手
操作

思考

求解

领会

理解

明确

由具
体的
问题
实际
操作
引导
学生
一步
步的
体会
终边
相同
角的
含义
自然
得出
结论

50
*动脑思考 探索新知
一般地，与角终边相同的角（包括角在内），都可以表示为 的形式．
与角终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
｛︱｝．

说明

强调

理解

记忆

强调
概念
的关
键点

55
*巩固知识 典型例题
例1 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在−360°～720°内的角写出来：⑴ 60°； ⑵ −114°26′．
分析 首先要写出与已知角终边相同的角的集合，然后选取整数的值，使得在指定的范围内．
解 ⑴ 与60°角终边相同的角的集合是
｛︱｝．
当时，； 当时，；当时，．所以在−360°～720°之间与60°角终边相同的角为、和．
⑵ 与−114°26′角终边相同的角的集合是
｛︱｝．
当时，；
当时，；
当时，．
所以在−360°～720°之间与角终边相同的角为、和．
例2 写出终边在轴上的角的集合．
分析 在0°～360°范围内，终边在轴正半轴上的角为90°，终边在轴负半轴上的角为270°，因此，终边在轴正半轴、负半轴上所有的角分别是
，
，
其中．⑴式等号右边表示180°的偶数倍再加上90°；(2)式等号右边表示180°的奇数倍再加上90°，可以将它们合并为180°的整数倍再加上90°．
解 终边在轴上的角的集合是
｛︱｝．
当取偶数时，角的终边在轴正半轴上；当取奇数时，角的终边在轴负半轴上．

质疑

说明

讲解

说明

引领

分析

总结

讲解

引领

观察

思考

主动
求解

思考

理解

领会

求解

理解

明确

安排
与知
识点
对应
的例
题巩
固新
知

计算
部分
可以
教给
学生
完成

利用
观察
图像
加强
问题
的理
解

强调
规范
写法

70
*运用知识 强化练习
教材练习5.1.2
1． 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
⑴ 405°； ⑵ 165°； ⑶ 1563°； ⑷ 5421°．
2． 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在−360°～360°范围内的角写出来：
⑴ 45°； ⑵ −55°； ⑶ −220°45′； ⑷ 1330°．

提问

巡视

指导

思考

动手
求解

交流

及时
了解
学生
知识
掌握
情况

80
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？

引导

提问

回忆

反思
交流
培养
学生
总结
反思
学习
过程
能力

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*继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节5.1；
(2)书面作业： 学习与训练5.1；
(3)实践调查： 生活中角的概念的推广实例．

说明

记录

90