有理数的复习与小结.doc

有理数复习
一、知识点回顾：
1、正数和负数：
（1）负数的定义：在正数前面加上的数叫做负数。
▲特殊数字0
（2）通常在日常生活中用正数和负数表示 的两种量。
（3）用正负数表示加工允许误差。
2、有理数：
（1）有理数的定义： 、 、 、 、 都可以写成 的形式，这样的数统称为有理数。
（2）分类
有理数 (2)有理数
（3）数集：把一些数放在一起就组成了一个数的集合。
集合的表示方法：有 和 两种。
▲集合里一定不要忘记写 。
3、数轴
（1）数轴的定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
（2）数轴的三要素： 、 、 。
4、相反数
（1）只有 不同的两个数叫做互为相反数。
（2）一般地，a的相反数是 ，0的相反数是 。
（3）相反数的性质：互为相反数的两数 。
5、绝对值
（1）定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的 叫做数a的绝对值。
（2）正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ，0的绝对值是 。
（3）绝对值的性质：①有理数的绝对值是一个非负数，即最小的绝对值是零；
②两个互为相反数的绝对值相等，即| a | = | —a |.
（4）两个数比较大小的方法：
根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较，数轴上的数从左到右是逐渐 。
①异号两数比较大小：正数 0,0 负数，正数 负数;
②同号两数比较大小：两个负数，绝对值大的 。
二、有理数的运算
1、有理数的加法
（1）有理数的加法法则：同号两数相加， ;绝对值不等的异号两数相加， ，并用 ；互为相反的两个数相加得 ；一个数同0相加, .
（2）有理数加法的运算律：
加法的交换律 ： ；加法的结合律：
用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.
2、有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数等于 .
（2）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；
3、有理数的乘法
（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得 ，异号得 ,并把绝对值 ；任何数与0相乘都得 .
（2）有理数乘法的运算律：交换律： ；结合律： ；交换律： .
（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.
4、有理数的除法
有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的 ， 不能做除数.这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0.
5、有理数的乘方
（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“”其中a叫做 ，表示相同的因数，n叫做 ，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，乘方的结果叫做 .
（2）正数的任何次方都是 ，负数的偶数次方是 ，负数的奇数次方是
6、有理数的混合运算
（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序.比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.
（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.

易错点
例1.若 。
例2.计算：（1）
例3. 精确到 位。
例4.用四舍五入关法，按要求取近似数：80642（保留3个有效数字）。
例5.计算：。
例6.计算：。
重要考点例析：
考点一、考查有理数的有关概念：
例1.（1）（08，桂林市）如果向东走３米记作＋３米，那么向西走５米记作　　　　米。
（2）把下列各数填入表示它所在的数集中：。
整数集 分数集 负数集 有理数集
例2．（08，泰州市）1．化简－（－2）的结果是
A．－2 B． C． D．2
点评：解决此类问题，关键是弄清有理数的概念与各类数的特征，不被表面现象所迷惑。
考点二、考查数轴、相反数、倒数的概念：
例3．（1）(08，湖州市)2的相反数是（ ）
A． B． C． D．
（2）（08，广州）若实数、互为相反数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A B C D
析解：本例考查相反数的意义，
例4．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
析解：本例考查倒数的意义，
例5.（1）（08，威海市）点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，其中表示－2的相反数的点是

-1
0
-3
-2
A
B
C
D

（2）（08，资阳市）如图1，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有
A．D点 B．A点
C．A点和D点 D．B点和C点
图1

点评：互为相反数的两数它们只有符号不同，且和为零；互为倒数的两数的积为1，正确理解概念的本质是解决此类问题的关键。
考点三、考查绝对值的有关运算：
例6．(08年，东莞市)的值是（ ）
A． B． C． D．2
例7.（08，芜湖市）若，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
点评：一个数的绝对值是指数轴上表示这个数的点到原点的距离，所以某数的绝对值是非负数。几个非负数的和等于零，则这几个非负数同时为零。
考点四、有理数大小的比较：
例8.（08，湛江市） 1． 在、、、这四个数中比小的数是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． D．
（2）（08，郴州市）实数a、b在数轴上的位置如图1所示，则a与b 的大小关系是（ ）
图1

A．a > b B． a = b C． a < b D． 不能判断
点评：有理数大小比较的两个重要方法：（1）正数>零>负数，两个负数比较绝对值大的反而小；（2）数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大。
考点五、考查有理数的运算：
例9（1）（08，大连市）某天的最高气温为6°C，最低气温为－2°C，同这天的最高气温比最低气温高__________°C
（2）(08，湘潭) 如图，数轴上A、B两点所表示的两数的（ ）
A. 和为正数 B. 和为负数 C. 积为正数 D. 积为负数
A
B
O
-3

例10.计算：（1）（08，江西省）计算(－2)2－(－2) 3的结果是( )
A. －4 B. 2 C. 4 D. 12
（2）－10+8÷
点评：对于有理数的混合运算，应按如下口诀进行
考点六、考查乘方的意义及有关运算：
例11.（1）（08，嘉兴市）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．9
（2）（08，苏州）计算 ．
点评：乘方是有理数的一种重要运算，要正确理解其意义及运算法则。
考点七、考查科学记数法、有效数字、近似数的意义：
例12．（1）（08盐城）2008年北京奥运圣火在全球传递的里程约为137000km，用科学记数法可表示为
A．1.37×103km B．137×103km C．1.37×105km D．137×105km
（2）（08，义乌市）据统计，2007年义乌中国小商品城市场全年成交额约为348.4亿元，连续第17次蝉联全国批发市场榜首.近似数348.4亿元的有效数字的个数是
Ａ．3个 Ｂ． 4个 Ｃ．5个 D．6个
点评：对于科学记数法和有效数字，须对其意义正确理解，科学记数法要正确确定其中的a和n，有效数字要从左边 第一个不是0的数字算起到精确的数位止。
考点八、考查有关新题型：
例13.（茂名）有一个运算程序，可以使：⊕ = (为常数)时，得
（+1）⊕ = +1， ⊕（+1）= -2
现在已知1⊕1 = 2，那么2008⊕2008 = ．
点评：本例是一道定义新运算和规律探究型新题，解答此类问题，先要弄清新定义的运算形式与运算方法，在此基础上再进行规律的探究与总。
（2008年贵阳市）13．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），，，，…
利用以上规律计算： ．
点评：解决阅读理解类问题，要在阅读材料，观察其过程的基础上，进行分析、探索、比较、归纳、猜想等活动，在此基础上得到规律，解决问题。
例1　计算：
例2　若，，且，试用“＜”号连接，，－，－。
例3　如果均为整数，且满足，＝3，求的值。
例4　计算：（－）×－（－）×（－）－×（－1）
五、某工厂在上一星期的星期日生产了100台彩电，下表是本星期的生产情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减/辆
–1
+3
–2
+4
+7
–5
–10

比前一天的产量多的计为正数，比前一天产量少的记为负数；请算出本星期最后一天星期日的产量是多少？本星期的总产量是多少？那一天的产量最多？那一天的产量最少？