数列综合应用专讲.doc

数列综合题专讲
例1、已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.

例2、在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.

例3、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元． (1)求该企业2014年年底分红后的资金；
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．

例4、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.则第n年初M的价值an＝________.

例5、数列{an}是公比为的等比数列，且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n项和Tn满足Tn＝nλ·bn＋1(λ为常数，且λ≠1)．
(1)求数列{an}的通项公式及λ的值； (2)比较＋＋＋…＋与Sn的大小．

练习题
一、选择题
1．已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝(　　)
A．－1或2　　　　　　 　B．0或2
C．2 D．1
2．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为(　　)
A．{4,5} B．{4,32}
C．{4,5,32} D．{5,32}
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则数列{an}(　　)
A．一定是等差数列 B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列 D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
4．下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列； p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为(　　)
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
5．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an为(　　)
A．2n－1 B．n
C．2n－1 D.n－1
6．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a2 012－5＝(　　)

A．2 018×2 012 B．2 018×2 011
C．1 009×2 012 D．1 009×2 011

二、填空题
1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．
2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．
3．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．
4. 设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2 013项和为________．
三、解答题
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn.

2．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b3＝3，
b5＝9. (1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝(n∈N*)，求证：cn＋1<cn≤.

3．已知点是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图像上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}的通项cn＝bn·n，求数列{cn}的前n项和Rn；(3)若数列的前n项和为Tn，问Tn>的最小正整数n是多少？

4．已知等比数列{an}和等差数列{bn}均是首项为2，各项为正数的数列，且b2＝4a2，a2b3＝6.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求使abn<0.001成立的正整数n的最小值．

5. 已知数列{an}中，a1＝2，a2＝4，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．
(1)证明数列{an＋1－an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn>2 013成立的n的最小值．

6．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2.
(1)判断数列是否为等差数列，若是，请给予证明，若不是，请说明理由；
(2)若bn＝·n，求数列{bn}的前n项和Tn.

7．将数列{an}中所有的项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2　a3
a4　a5　a6
a7　a8　a9　a10
……
记表中的第1列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1，Sn为数列{bn}的前n项和，且满足＝1(n≥2，n∈N*)．
(1)证明数列是等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2)上表中，若从第3行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．

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