分类讨论思想教师版.doc

分类讨论专项训练
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．
分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级．
引起分类讨论的常见因素：(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、对数与指数函数的单调性等．
(3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶次方根非负，对数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比较，含参数的取值不同会导致所得结果不同等．
(4)由图形的不确定性引起的分类：有的图形的形状、位置关系需讨论，如二次函数图象的开口方向，点、线、面的位置关系，曲线系方程中的参数与曲线类型等．
简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4) 数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．
注：能回避分类讨论的尽可能回避．
1.函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数a的取值范围是________．0≤a≤1
解析： 由题知ax2－a(a＋1)x＋(a＋1)≥0对x∈R恒成立，分a＝0和a＞0两种情况讨论．
2.(2014·上海卷)已知f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为____________． 答案：[0，2]
解析：由于当x>0时，f(x)＝x＋＋a在x＝1时取得最小值2＋a，由题意当x≤0时，f(x)＝(x－a)2应该是递减的，则a≥0，此时最小值为f(0)＝a2，因此a2≤a＋2，解得0≤a≤2.
3.(2014·浙江卷)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是_ ___________．答案：(－∞，]

解析：或者得－2≤f(a)<0或者
4.若loga<1，则实数a的取值范围为________．答案：0＜a＜或a＞1
解析：分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论．
5.函数f(x)＝x2－2ax＋1在区间[－1，1]上的最小值记为g(a)，则g(a)= ________
答案：g(a)＝
6.在△ABC中，已知sinB＝，a＝6，b＝8，则边c＝_______．
解：sinB＝，a＜b，若B为锐角，则cosB＝，由余弦定理得b2＝c2＋36－2×6×c×cosB＝64，即c2－3c－28＝0，∴ c＝7；若B为钝角，则cosB＝－，由余弦定理得b2＝c2＋36－2×6×c×cosB＝64，即c2＋3c－28＝0，∴ c＝4，故边c的长为7或4.
7.(2014·四川卷)已知函数f(x)＝sin.若α是第二象限角，f＝coscos2α，则cosα－sinα＝________． 答案：－或－
解析：因为f＝coscos2α，所以sin＝coscos2α.
所以sinα＋cosα＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα)2.
所以(sinα＋cosα)＝0.
因为α是第二象限角，所以，当α＝2kπ＋π，k∈Z，sinα＋cosα＝0，
此时sinα＝，cosα＝－，则cosα－sinα＝－；
当α≠2kπ＋π，k∈Z时，sinα＋cosα≠0，此时(cosα－sinα)2＝.
因为cosα<sinα，所以cosα－sinα＝－ 综上，cosα－sinα的值为－或－.
8.若直线过点P且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为____________ 答案：x＝－3或3x＋4y＋15＝0
解析　若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为＝，解得k＝－，此时该直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
9.双曲线－＝1的离心率为2，则＝________ 答案：3或
解析：分焦点在x轴和y轴上两种情况．
10.已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N，
2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)[来源:学#科#网Z#X#X#K]
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线[来源

11.设点F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则的值为________．或2

12.已知数列{an}对任意的n∈N*都满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8－5n，则数列{an}的通项公式为________．an＝
13.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ C ）
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有种方法
甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法故共有1008种排法
14.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　B　)．
A．24 B．18 C．12 D．6
解析　根据所选偶数为0和2分类讨论求解．
①当选数字0时，再从1,3,5中取出2个数字排在个位与百位．有CA＝6个．
②当取出数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C种方法．然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列．有CAA＝12个，共有18个三位数的奇数．
15.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2 个，则该外商不同的投资方案有(　D　)．
A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
解析　若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法．由分类加法计数原理知共A＋CA＝60(种)方法．
16.(2014·济南调研)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(　A　)．
A．33 B．34 C．35 D．36
解 (1)若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点的个数为CA.
(2)当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C×1＝C.
(3)当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有CA个．
∴由分类加法计数原理，共确定不同的点有CA＋C＋CA＝33(个)．

17.(2014·湖州质检)在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1，
b4＝a2，b13＝a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.
由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d，
故⇒⇒q＝3或1(舍去)．所以d＝2，所以an＝3n，bn＝2n＋1.
(2)由题意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n， Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－1(2n－1)＋ (－1)n(2n＋1)]＋3＋32＋…＋3n.
当n为偶数时，Sn＝n＋－＝＋n－；
当n为奇数时，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋－＝－n－.
所以Sn＝
18（节选）已知 函数
记在区间上的最大值为，求的表达式
解：当时，＝ ＝＜0
当时，＝ ＝＞0
因此，在上单调递减，在上单调递增
①若，则在上单调递减，＝＝
②若，则在上单调递减，在上单调递增．
所以＝，．而－＝，
故当时，＝＝；当时，＝＝.
综上所述，＝