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解析几何初步综合检测

一、填空题
1．直线x＝tan 60°的倾斜角是________．

2．直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则m＝________．
3．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个不同的交点，则a的取值范围是____________．
4．已知圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是______________．
5．在圆x2＋y2＝4上与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小的点的坐标是______________．
6．圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________．
7．若⊙C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4和⊙C2：x2＋y2＋2x－4my＝8－4m2相交，则m的取值范围是______________．
8．已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A为切点，则PA的最小值为________．
9．直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角是____________．
10．如果圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)都能使x＋y＋c≥0成立，那么实数c的取值范围是__________．
11．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋8＝0，若圆C和坐标轴的交点间的线段恰为圆C′直径，则圆C′的标准方程为__________________．
12．P(0，－1)在直线ax＋y－b＝0上的射影为Q(1,0)，则ax－y＋b＝0关于x＋y－1＝0对称的直线方程为________．
13．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点的轨迹方程为________．
14．过点P(1，)的直线l将圆C：(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k为________．
二、解答题
15．已知点P(－4,2)和直线l：3x－y－7＝0．求：
(1)过点P与直线l平行的直线方程；
(2)过点P与直线l垂直的直线方程．

16．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高线BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．

17．已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．

18．从点A(－4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1，6)，求入射光线l所在的直线方程．

19．(16分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

20．(16分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程．

解析几何初步综合检测答案

1．90°
2．2或－
解析　令y＝0，则(2m2＋m－3)x＝4m－1，所以直线在x轴上的截距为＝1，所以m＝2或m＝－．
3．－6<a<4
解析　将圆的方程化为(x－a)2＋(y＋2)2＝16．
圆心(a，－2)到直线的距离d＝．
∵直线与圆有两个不同交点，
∴d<4，即<4，
得－6<a<4．
4．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
5．
解析　经过圆心O且与直线l垂直的直线的方程是3x－4y＝0．
解方程组得或画出图形，可以判断点是圆x2＋y2＝4上到直线l距离最小的点，点是圆x2＋y2＝4上到直线l距离最大的点．
6． 2
解析　由已知可知PQ的垂直平分线为
kx－y＋4＝0，
∴直线kx－y＋4＝0过圆心，
∴－k＋1＝0，k＝2．
7．∪(0,2)
解析　圆C1和C2的圆心坐标及半径分别为
C1(m,0)，r1＝2，C2(－1,2m)，r2＝3．
由两圆相交的条件得3－2<C1C2<3＋2，即1<5m2＋2m＋1<25，解得－<m<－或0<m<2．
8．2
解析　圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的半径为1，要使PA最小，只需PC最小，
(PC)min＝＝3．
故(PA)min＝＝2．
9．60°
10．c≥－1
解析　对任意点P(x，y)能使x＋y＋c≥0成立，
等价于c≥[－(x＋y)]max．
设b＝－(x＋y)，则y＝－x－b．
∴圆心(0,1)到直线y＝－x－b的距离d＝≤1，
解得，－－1≤b≤－1．
∴c≥－1．
11．x2＋(y－3)2＝1
解析　圆C：x2＋y2－4x－6y＋8＝0与x轴没有交点，只与y轴相交，取x＝0，得
y2－6y＋8＝0解得两交点分别为(0,2)和(0,4)，由此得圆C′的圆心坐标为(0,3)，半径为1，所以标准方程为x2＋(y－3)2＝1．

12．x－y＋1＝0
解析　∵kPQ·(－a)＝－1，∴a＝1，Q(1,0)代入x＋y－b＝0得b＝1，将其代入ax－y＋b＝0，得x－y＋1＝0，此直线与x＋y－1＝0垂直，
∴其关于x＋y－1＝0的对称的直线是其本身．
13．x2＋y2＝4
解析　在Rt△AOP中，∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴PO＝2OA＝2，动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x2＋y2＝4．
14．
解析　当直线与PC垂直时，劣弧所对的圆心角最小，故直线的斜率为．
15．解　(1)设所求直线的方程是
3x－y＋m＝0(m≠－7)，
∵点P(－4,2)在直线上，
∴3×(－4)－2＋m＝0，
∴m＝14，即所求直线方程是3x－y＋14＝0．
(2)设所求直线的方程是x＋3y＋n＝0，
∵点P(－4,2)在直线上，
∴－4＋3×2＋n＝0，
∴n＝－2，即所求直线方程是x＋3y－2＝0．
16．证明　(1)∵M为AB的中点，D为PB中点，
∴DM∥AP．
又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，
∴DM∥平面APC．
(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，
∴DM⊥PB．
又∵DM∥AP，∴AP⊥PB．
又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC．
∵BC⊂平面PBC，
∴AP⊥BC．
又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，
∴BC⊥平面APC．
又∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APC．
16．解　(1)由题意，得直线AC的方程为2x＋y－11＝0．
解方程组，得点C的坐标为(4,3)．
(2)设B(m，n)，M．
于是有m＋5－－5＝0，
即2m－n－1＝0与m－2n－5＝0联立，解得B点坐标为(－1，－3)，于是有
lBC：6x－5y－9＝0．

17．解　方法一　设圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ①
将P，Q坐标代入①得

令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0 ④
据题设知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是④的两根．
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2
＝E2－4F＝48⑤
解由②③⑤组成的方程组得
D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4．
故所求圆的方程为
x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0．
方法二　易求PQ的中垂线方程为
x－y－1＝0 ①
因为所求圆的圆心C在直线①上，
故可设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径r＝CP＝ ②
由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而点C到y轴的距离为|a|，
∴r2＝a2＋2，
将②式代入得a2－6a＋5＝0．
所以有a1＝1，r1＝或a2＝5，r2＝，
即(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37．
18．解　设B(1,6)关于直线l1：x－y＋3＝0的对称点为B′(x0，y0)，
则解得
∴B′(3,4)．依题意知B′在入射光线上．
又A(－4,1)也在入射光线上，
∴所求方程为3x－7y＋19＝0．
19．解　(1)(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴m<5．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，
则x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2．
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0 ①
由
得5y2－16y＋m＋8＝0
∴y1＋y2＝，y1y2＝
代入①得，m＝．
(3)以MN为直径的圆的方程为
(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0
∴所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0．
20．(1)证明　∵圆C过原点O，∴r2＝t2＋．
设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t．
∴S△OAB＝OA×OB＝××|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)解　∵OM＝ON，CM＝CN，
∴OC垂直平分线段MN．
∵kMN＝－2，∴kOC＝．
∴直线OC的方程是y＝x．
∴＝t．解得t＝2或t＝－2．
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，
OC＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．