“一分为二”看问题二.doc

四、对导函数一分为二成两个函数之和

例7 证明:对任意的正整数，不等式都成立.

分析  对任意的正整数，要证不等式都成立，设，则只要证明当时，不等式即 恒成立.设，则只要证当时，恒成立即可.

证明 设.则当时， ，所以在上单调递增，所以当时，，即，也就是恒成立.令，则，故对任意的正整数，不等式都成立.

点评 这里判断导函数的符号时，其分子不能用因式分解法定号，我们将分子一分为二成两个非负数之和，从而确定导函数的符号，使问题得以解决.

例8讨论函数的零点个数.

解 ，注意到，且当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.又时，；当时，.由函数的图像可知：

（1）当即时，函数的图像与轴只有一个公共点，所以只有一个零点；

（2）当即时，函数的图像与轴没有公共点，所以没有零点；

（3）当即时，函数的图像与轴有两个公共点，所以有两个零点.

点评  这里将导函数一分为二成两个函数与之和，而这两个函数具有相同的零点和相同的单调性，从而得出导函数零点和单调性，本解法充分体现了一分为二的对立与统一.

一分为二是普遍的，但不能作机械的理解.本文所举案例中的函数的可分性从内容、形式及过程是多种多样的，既可对自变量的取值范围一分为二，也可将一个函数整体一分为二成两个函数的和差积商，还可对其导函数或其局部一分为二.一分为二只是一种形式，正确地认识和把握一分为二，就既要看到矛盾双方的对立和排斥，也要看到双方的联系和统一，以及在一定条件下的相互转化，对立和统一才是一分为二的精髓.