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利用放缩法证明数列型不等式
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用
1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题
例1、若是自然数，求证
证明：

=
=
例2.．数列，，其前项和为，求证：
解：
令，的前项和为
当时，

例3、设数列的前项和为.已知,,.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 证明:对一切正整数,有
解 (1) 当时,,

两式相减得
整理得,即,又
故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.
(2) 当时,；当时,；
当时,
此时
综上,对一切正整数,有.
2.等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。
例4、求证：
证明：由（是大于2的自然数）
得

例5. 满足：， ，，求证：
解：
又
，
迭乘得：

例6 .设数列的前项和为，满足，，且、、成等差数列.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有.
解析：（Ⅰ）由，解得.
（Ⅱ）由可得（），两式相减，可得，即，即，所以数列（）是一个以为首项，3为公比的等比数列.由可得，，所以，即（），当时，，也满足该式子，所以数列的通项公式是.
（Ⅲ）因为，所以，所以，于是.
例7..设数列{}满足
（1） 求{}的通项公式；
（2） 若
求证：数列{}的前n项和
分析：（1）此时我们不妨设
即与已知条件式比较系数得
又是首项为2，公比为2的等比数列。.
（3） 由（1）知. 当时,

当n=1时，=1也适合上式，所以，故
方法一：，(这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推测出.)、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、.
方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n3时,我们看:

易验证当n=1，2时 . 综上
二、放缩法的注意问题以及解题策略
1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。
2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。
3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：
（1）根式的放缩：；
（2）在分式中放大或缩小分子或分母：；
真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，；
假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如；
（3）应用基本不等式放缩：；
（4）二项式定理放缩：如；
（5）舍掉（或加进）一些项，如：。
4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。