曲线与方程的概念.doc

说课课题： 曲线与方程的概念

【课题】曲线与方程 【教材】高中新课标人教A选修2－1 2.1.1曲线与方程
一、教材分析:
1．教材内容       
在必修课程学习了解析几何初步的基础上，《曲线与方程》这一节在教材中划分为两个课时，第一课时的教学内容为介绍解析几何的有关知识和《必修2》中的研究直线与圆的坐标法，概括出曲线与方程的概念。第二课时的教学内容则是在前一课时的基础上，重点探究求曲线方程的一般方法步骤，进一步深入探究求曲线轨迹方程的其它方法。
2.教材地位和作用
“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响。从知识上说，曲线与方程的概念是对后面所学的求出曲线的方程的准确性来说是很关键的，它在下节课中起到基础性的作用，不仅是本节的重点概念，也是高中学生较难以理解的一个概念。通过本节的学习，提高学生对概念的理解能力，也为以后进一步学习奠定了基础，对培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力有重要作用，是培养高二学生的观察分析能力和逻辑思维能力的重要训练内容。
3.教材重点、难点
本节重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念
本节难点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的对应关系并利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程
二、教学目标分析
◆知识目标：
1、理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；
2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；
3、学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；
4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
◆能力目标：
1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；
2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；
3、在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互转化的思想方法。
◆情感目标：
1、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；
2、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
三．教法分析
在本节的教学中，主要采用探究式教学方法。从实例、到类比归纳、到推广的问题探究方式，它对激发学生学习兴趣，培养学习能力都十分有利。启发引导学生得出概念，深化概念，并应用它所解决问题去讨论、去研究。
用举反例的方法来突破难点，引导学生对概念表述的严密性进行探索的探究教学法。在师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题的能力打下了基础。同时结合多媒体辅助教学，节省了板书时间，增大了信息量，增强了直观形象性。
四．学法指导
问题探究和启发引导式相结合。引导学生主动参与，亲身实践，独立思考，合作探究，发展学生搜集处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力，基于此，本节课从实例引入→类比→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用→作业中的研究性问题的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者。
五、教学过程分析
（一）提出课题
师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。让学生画出方程表示的直线
◆思考直线上所有点的集合与方程的解的集合之间的对应关系是怎样的？
（出示幻灯片）

1、直线上的点的坐标都是方程的解；
2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。
即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。
我们就可以说方程x-y=0是表示直线l的方程，直线l是表示方程x-y=0的直线
◆（引导学生思考）我们已经学过的还有一些曲线和方程，是否有类似的对应关系？
（出示幻灯片，引导学生类比、推广并思考相关问题）
类比：（引导和启发学生说出曲线上的点与方程的解之间是否也是一一对应关系，注意学生引导学生类似上面的表达方式。）

1、圆上的点的坐标都是方程的解；
2、以这个方程的解为坐标的点都在圆上。
即：圆上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。
我们就可以说方程是表示此圆的方程，圆是表示方程的圆。
类似的让学生表述出以下的对应关系：

◆推广：任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？
也即：方程的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程表示曲线C，同时曲线C也表示着方程？

设计目的：学生是学习的主体，所学的知识只有通过学生的再创造活动，才能纳入其认知结构中。通过对以前所学的知识进行有意识的引导探究活动，得出所要学的知识，并且学会类似的表达，使学生感受发现知识过程和容易接受所要学的知识，同时也提高学生对数学知识的表达能力和观察能力。
（二）通过合情推理，概括形成定义
引导学生根据前面分析曲线上的点与方程的解之间是否是一一对应关系，模仿前面的结论对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
（三）讨论归纳给出定义——运用反例揭示概念内涵
我们在给曲线方程下定义时，语言表述概念不失概念的严谨性，表述是否正确呢？如果概念中的两点少一点，是否也满足曲线上的点坐标与方程的解之间的一一对应关系呢？
设计目的：引导学生对得到的结论要给予更多的思考，帮助他们提高认识，更加深入探索是概念表述的实质内涵是什么。这也是概念教学中学生理解概念的要点，突出本节课的教学重点，给学生较多的时间互相探究问题和讨论解决问题，让学生对概念的丰富内涵有更深的认识。
（出示幻灯片，引导学生探究和思考相关问题）
◆请同学们探究下列两个图上曲线上的点与方程的解之间的对应问题：
如图1：（1）直线上的点的坐标是否都满足方程x-y=0解？
（2）以方程x-y=0解为点的坐标是都否直线上？
曲线上的点的坐标与方程的解之间是否满足一一对应关系？

图1 让学生探究得出结论是不符合的是关系（1）

如图2：（1）射线上的点的坐标是否都满足方程x-y=0解？
（2）以方程x-y=0解为点的坐标是都否射线上？
曲线上的点的坐标与方程的解之间是否满足一一对应关系？

图2 让学生探究得出结论是不符合的是关系（2）

最后总结：对“曲线的方程”和“方程的曲线”下的定义两点关系的理解是：
关系（1）说的是曲线上的点的坐标与这个方程的解都对应。
关系（2）说的是以这个方程的解为坐标的点都与曲线上的点对应。
两点合来才说明是曲线上的点与方程的解之间是一一对应关系，二者缺一不可。
设计目的：让学生通过探究以上来两个反例对“曲线上的点与方程的解之间是否满足一一对应关系”，从得出曲线上的点与方程的解之间不满足一一对应关系。使学生在探究的过程中提高对概念的理解。
（四）通过练习应用和强化概念的理解（出示幻灯片，给学生足够时间练习）
1.下列各题中，图所示的的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系（1）还是关系（2）？

2.解答下列问题，并说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？
⑴点A（3，－4）、B（，2）是否在方程的圆上？
⑵已知方程为的圆过点C（，m），求m的值。
设计目的：对曲线与方程的概念的准确理解是对今后求出准确的曲线方程有重要作用。因此通过练习加强学生应用和强化概念的理解，同时也让学生主动参与课堂教学，通过师生互动得到答案，了解学生理解概念的情况
用概念证明的例题讲解P35
例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数的轨迹方程是。
设计目的：这为下节课打下基础，证明对学生来说是一个难度较大的，也是个难点，课标不作为必须掌握的，本节课只是让学生初步了解，提高对概念的应用能力
分析：引导学生思考从概念的两点出发去找证明思路：（1）证明轨迹上的点的坐标都是方程的解；（2）证明方程的解为坐标的点都在曲线上。
证明：（1）设是轨迹上的任意一点，则与x轴的距离是，与y轴的距离是， 即是方程的解。
（2）设点的坐标是方程的解，则，即
而，分别是点与y轴的距离和x轴的距离，所以点到这两坐标轴的距离的积是常数，点是曲线上的点。
由（1）（2）可知，是与两条坐标轴的距离的积是常数的轨迹方程。
（五）小结归纳
本节课我们通过对实例的探究，理解了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，探究定义时，要记住关系⑴、⑵两者缺一不可，其实质是曲线上的点的坐标与方程的解之间是一一对应关系。它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。曲线和方程之间一一对应关系的确立，把曲线与方程统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。让学生从知识内容和数学思想方法两个方面进行小结，使学生对本节课的知识有一个清晰的认识，对所用到的数学方法和涉及的数学思想也有体会，使学生能力得到培养。
（六） 布置作业： 作业P37练习1
（七）板书设计
（有的借助多媒体显示）
2.1曲线与方程
1．曲线与方程的定义： 例1：
证明：
2.对关系（1）的理解

对关系（2）的理解

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