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“折纸问题”的探索与分析
泰州市姜堰区实验初级中学 颜小兵

图形的折叠，主要是通过折叠图形构造的图形的轴对称性来解决问题，由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化为线段和角等关系。比如与学生生活实际结合密切的“包书问题”、“折纸问题”。本文为笔者开设的一节市级初三复习研讨课，就是通过日常生活中常见的折纸形式作为动手操作活动，以矩形纸片的折叠为基础，逐步设计以折叠为背景的数学题目贯穿一堂课的始终而展开教学。
问题1：如果把矩形沿EF折叠，四边形ADEF为正方形，矩形EFBC与原矩形相似，那么原矩形的长与宽的比又是多少呢？
老师提示：要使矩形EFBC与原矩形相似，关键是两个矩形的所有的边对应成比例，怎样去求原矩形的长与宽的比呢？
学生分组讨论，拿出准备好的矩形纸片开始按要求折叠，研究折叠正方形后，如何使矩形EFBC与原矩形相似，并开始观察计算各个线段之间的关系。经过一番讨论后，大部分学生都能够得到以下结果：
设原矩形的长为a，宽为b，则折叠后得到的小矩形长为b，宽为（a-b），由两个矩形相似可得：，化简得：a2-ab-b2=0，方程两边同时除以b2，，把看成一个整体，运用换元的思想方法解方程，便可求得．
老师赞叹：说得对，这个比值正好符合黄金分割比例啊！
问题2：在矩形ABCD中，如果把矩形沿对角线折叠，你能求出什么？
分析：这是一道开放性问题，是对矩形折叠问题的探究，学生需要小组合作探究，教师适时引导。
生1：我能求出△DFB为等腰三角形。因为矩形折叠沿着对角线折叠之后，∠EBD=∠ABD，由DC平行于AB，得到∠CDB=∠ABD，从而∠EBD=∠CDB，所以DF=BF，因此△DFB为等腰三角形。
师：很好，还有吗？
生2：我能证明△DEF≌△BCF。将矩形折叠后，DE=DA=BC，∠E和∠C是对应角，再加上一组对顶角，根据全等三角形的知识能够得到△DEF≌△BCF。
师：非常好，还有吗？
生3：我能根据△DEF≌△BCF，能够推出DF=BF，也可以说明△DFB为等腰三角形。
师：太好了，还有吗？
生4：我发现折叠后整个图形中，△ABD与△EBD关于BD成轴对称，△ABD与△CBD成中心对称，因此这三个三角形都是全等三角形。
教师小结……
问题3：已知矩形ABCD中，长AB=5，宽AD=3 ，如果沿BE折叠，使A点落到CD上，你能求出什么？
教师提问：将矩形沿着BE折叠，使A点正好落到CD上，你们能求出什么？
随着老师引导学生不断地分析图形，矩形折叠的要求不断加大，难度也随之提高，教师不断地以阶梯式、引导式的提问让学生去积极思考折叠的情形。
学生分组讨论，仔细观察此时图形中出现的许多直角三角形，纷纷思考这些直角三角形之间的关系。
第一小组：我们可以解直角三角形BCF。因为矩形沿着BE折叠后，点A与点F对称，那么△ABE≌△FBE，所以BF=AB=5，在Rt△BCF中,利用勾股定理可求得CF=4。
老师：很好，那能不能求出线段DE的长度呢？
大家纷纷思考，分组展开讨论，教师巡视，了解各小组的讨论进展情况，及时地引导，并加入讨论的行列，课堂气氛非常热烈，下面展示几种同学们认可的解题结果：
第二小组：由CF=4，我可以继续求出DF=1，设DE=x，则EA=3-x,EF=3-x, 在Rt△DEF中，根据勾股定理得：
DF2+DE2=EF2
12+x2=(3-x)2
1+x2=9-6x+x2
x=
即DE=
第三小组：我可以直接由△DEF∽△CFB得到：

x=
师 ：大家说得都不错，学数学就得大胆地思考，这样思维才更加灵活，解题的方法才会不断增多。
问题4：已知矩形ABCD中，长AB=5，宽AD=3 ，把矩形沿BE折叠，使A点落在矩形的外面，如果AE=，求DP，CQ的长．

随着学生们探索折叠问题的热情不断高涨，老师给出问题的难度不断加深，将点A折叠到矩形的外面，考察学生能否借助于刚才的思考方法去探索。如果我们将矩形沿BE折叠，使A点落在矩形的外面，可以得到哪些图形相似呢？
众：△AEB∽△FEB、△DEP∽△FQP、△FQP∽△CQB、△DEP∽△CQB．
师：利用这些图形的相似，如何去求DP，CQ的长呢？
学生纷纷讨论，但是利用现有相似图形去求DP，CQ的长，学生很难与已知条件结合在一起，让学生陷入了沉思。这时，教师及时提示、引导．
师：由已知图形相似很难求出相似比，但我们可以结合以上折叠的方法思路去思考呀，可以通过添加辅助线转化为熟悉图形呀。
学生们议论纷纷，回顾刚才的一系列折叠问题，展开了热烈地讨论……
在教师的引导和提示下，作一条平行线经过F点，如图所示，转化为上一个问题4的情形，想一想，能得到什么信息？刚才的问题4，我同样得到△MEF∽△NFB．
师：那这两个相似三角形的相似比是多少呢？
生1：由折叠课知EF=AF=，根据△MEF∽△NFB，相似比就为EF：FB=：5=1：2
师：嗯，很好。那知道了相似比，我们怎么求DP，CQ的长呢？同学们小组合作，一起动脑思考吧。
经过一番讨论，第四合作小组的同学们想到了用方程的思想去解决，他们推选出学生代表到事物投影仪展示台上板演。
生2：设MF=x，ME=y，相似比为1：2，则BN=2x，FN=2y，可列方程组得：
，从而求出MF=2，FN=3，BN=4
再由CQ∥FN ,得△BCN∽△BNF，从而有：

CQ=
同理可得：DM=
师：像这样将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题，我们在数学中称之为“化归”的思想。化归在数学解题中几乎无处不在，化归的主要功能就是生疏化成熟悉，复杂化成简单，化归是我们数学中的一个重要思想方法。
总之，这节课以日常生活中常见的折纸形式作为动手操作活动，以矩形纸片的折叠为基础，由浅入深，循序渐进地引入，通过集体商讨、寻找解题途径，揭示了折叠的本质。这节课教师不断地以引导式的提问方式让学生去积极思考折叠的各种情形及关系，充分调动学生们的学习积极性，让学生去观察、合作、猜想、讨论、验证等数学活动，提高了学生思维分析能力、空间想象能力、推理能力和动手能力。
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