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问题高效引领 自主探索交流
---数学八年级(上)“4.3 实数”教学案例设计
江苏省兴化市下圩中心校 朱金昌 （225762）

一 教材分析
本节课是苏科版八年级上册“4.3实数”第一课时内容，是学生在学习有理数、平方根和立方根的基础上开展的具有探究性、创新性的学习内容。实数的引入，是数系的又一次发展和完善，实数及其运算是进一步学习“数与代数”的重要基础。无理数是客观存在的，无理数的引入和负数的引入一样，是实际的需要，也是数学内部知识发展的需要，学生可以从中体验根据实际和数学需要引入新数的好处。本节课从实际生活中问题入手，引发思维碰撞，通过动手操作，让学生再次了解和掌握数形结合的思想，并通过自主学习，合作探究，感受数学的和谐之美，提高学习兴趣，培养创新能力。

二 教学目标
【知识目标】1. 知道无理数是客观存在的，了解无理数和实数的概念，能按要求对实数进行分类，会判断一个数是无理数还是有理数.
2. 知道实数和数轴上的点一一对应。
【能力目标】经历估算的探索过程，从中感受“逼近”的数学思想，让学生获得一些分析研究问题和解决问题的经验方法，学会思考进而学会学习。
【情感目标】发展学生数感及估算能力，激发学生的探索创新精神，体验数学中的数的和谐之美。

三 教学重点、难点
教学重点：了解无理数和实数的概念，会判断一个数是无理数还是有理数，知道实数与数轴上的点一一对应。
教学难点: 经历估算的探索过程，从中感受“逼近”的数学思想及对无理数的认识与判断。

四 设计理念
根据《全日制义务教育数学课程标准》的具体目标，结合学生的实际学情，改变教学过于注重知识传授的倾向，关注学生的学习兴趣，变苦学为乐学，帮助学生形成积极主动的学习态度，实施开放式教学，给学生提供充分从事数学活动的机会，让学生主动参与学习活动，在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化过程，帮助他们在自主探索与合作交流过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。

五 设计思路
数学活动的核心思想是“问题引导学习”，因此在教学过程设计中，以实数及其运算知识的生成发展过程为载体，努力构建一个“问题牵引—思维碰撞—自主学习—合作交流—归纳反思”的数学思维活动过程。总体思路是“教师用更少的时间高效地完成教学任务，学生用更多的时间有效地进行自主学习”，课堂教学尽量做到教师在完成新授课内容的同时，多给学生课堂思考和省悟的时间。
六 教学过程
1 创设情境 导入新知
活动1 利用计数器把下列有理数写成小数形式，它们有什么特征？

3=3.0；；；；
结论：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。
【设计意图】从学生已有的知识经验出发，回顾有理数与小数、分数之间的关系，认识有限小数和无限循环小数都是有理数
活动2 边长为1的正方形，其对角线长是多少？你能在数轴上表示出的点吗？

【设计意图】从生活实际出发，指出像这样的数确实是存在的，它可以用数轴上唯一的点来表示，但它是我们已学过的数吗？进而引发思维的碰撞，为下面的探究作铺垫.

2 自主探究 合作交流
活动1 是一个整数吗?
因为12=1 22=4，
所以1﹤﹤2，是介于1～2之间的一个数，它不可能是一个整数

活动2 是一个分数吗?

因为 哪些分数的平方与2接近呢?
…

因为1.42=1.96，1.52=2.25， 所以1.4﹤﹤1.5
因为1.412=1.9881，1.422=2.0164 所以1.41﹤﹤1.42
因为1.4142=1.999396，1.4152=2.002225 所以1.414﹤﹤1.415 ……
依此法进行，保留四位小数、五位小数呢？
事实上，已经证明是一个无限不循环小数，它也不可能是分数（阅读教材P105,证明是无理数）
=1，414213562373095048801688…，

活动3 自主阅读教材p101-102,并回答下列问题。
1.如图，你能说出a1 、a2、 a3 、a4 、a5的值吗？。

2.你能画出长度分别为、...的线段吗？

3.画出半径为1cm的 圆，计算这个圆的周长、面积。

【设计意图】1.给学生充足的时间和空间，理解并感知无理数的概念，通过讨论交流，提出共同的问题，使学生的自主性和合作性得到很好的发展
2.经历是怎样的数，在充分探索中感受“逼近”的数学思想，引导学生经历“有理数-实数”又一次数系的扩充，并从中不断积累数学活动的经验。

三 师生互动 归纳新知

1.什么样的数叫无理数？

通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，
像、、、 、、、等，无限不循环小数叫做无理数。
无理数概念的理解： ①.无限小数 ②.不循环小数，二者缺一不可。③.所有的无理数都不能写成分数形式。
有理数和无理数统称为实数。
2.实数的分类：

四 学以致用 巩固提高

【例1】如何在数轴上表示出、、-的点。
交流讨论：你是用什么方法表示出来的？什么方法更加简捷？

（引导鼓励学生灵活运用勾股定理巧构直角三角形表示线段）

【归纳与反思】1.任何一个无理数也可以用数轴上唯一的点来表示，数轴上的点不全表示有理数
2.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数.实数与数轴上的点一一对应.

【例2】下例实数中，无理数有哪些？
、、0、、3.141592、、、、、
0.1001000100001…

【归纳与反思】到目前为止，常见的无理数的类型：

1.与有关的数。如、…，注意不是无理数
2.带有根号且开方开不尽的数

3.“人造”的一些数.如0.1001000100001…

【练习】1教材p103.

【设计意图】无理数的识别及按要求对实数进行分类是本课的重点，通过师生共探，对无理数进行归类，可起到事半功倍的效果。通过对实数的分类，进一步体验数系中有与无、整与分、正与负的和谐之美.

五 课堂小结 整体感知
1.本节课你有哪些收获？
2你还有什么问题和想法要与大家交流（从内容、方法和情感方面）
3.数学小故事（无理数的由来：毕达哥拉斯学派与无理数）
作业布置： 必做题 教材p105-106 1、4
选做题 补充习题 实数（1）
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