集合与常用逻辑用语.doc

第一章　集合与常用逻辑用语

学案1 集合的概念与运算

导学目标： 1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算．

自主梳理
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或表示．
3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
4．集合间的基本关系
对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA，则 AB(或BA)．
若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
5．集合的运算及性质
设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
设全集为S，则∁SA＝{x|x∈S且xA}．
A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，
A∩B＝A⇔A⊆B.
A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，
A∪B＝B⇔A⊆B.
A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U.
自我检测
1．(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号)．
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；
②M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}；
③M＝{4,5}，N＝{5,4}；
④M＝{1,2}，N＝{(1,2)}．
答案　③
2．(2009·辽宁改编)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}，则M∩N＝________.
答案　{x|－3<x<5}
解析　画数轴，找出两个区间的公共部分即得M∩N＝{x|－3<x<5}．
3．(2010·湖南)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m，4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.
答案　3
解析　∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.
4．(2010·常州五校联考)集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝，x∈R}，则M∩N＝________.
答案　[－1,3]
解析　∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．
又∵y＝，∴9－x2≥0.
∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．
5．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.
答案　－1或2
解析　由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，经检验符合．
由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.

探究点一　集合的基本概念
例1　若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求b－a的值．
解题导引　解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．
解　由{1，a＋b，a}＝{0，，b}可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应法则：
①　 或②
由①得符合题意；②无解．
∴b－a＝2.
变式迁移1　设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b.
解　由元素的互异性知，
a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B，
得或解得a＝－1，b＝0.
探究点二　集合间的关系
例2　设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则M与N之间有什么关系？
解题导引　一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．
解　集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.
变式迁移2　设集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m|mx2＋4mx－4<0对任意实数x恒成立，且m∈R}，则集合P与Q之间的关系为________．
答案　PQ
解析　P＝{m|－1<m<0}，
Q：或m＝0.∴－1<m≤0.
∴Q＝{m|－1<m≤0}．∴PQ.
探究点三　集合的运算
例3　设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
解题导引　解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．
解　(1)A＝{x|≤x≤3}．
当a＝－4时，B＝{x|－2<x<2}，
∴A∩B＝{x|≤x<2}，
A∪B＝{x|－2<x≤3}．
(2)∁RA＝{x|x<或x>3}．
当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA，
即A∩B＝∅.
①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；
②当B≠∅，即a<0时，B＝{x|－<x<}，
要使B⊆∁RA，需≤，解得－≤a<0.
综上可得，a的取值范围为a≥－.
变式迁移3　已知A＝{x||x－a|<4}，B＝{x||x－2|>3}．
(1)若a＝1，求A∩B；
(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，
A＝{x|－3<x<5}，
B＝{x|x<－1或x>5}．
∴A∩B＝{x|－3<x<－1}．
(2)∵A＝{x|a－4<x<a＋4}，
B＝{x|x<－1或x>5}，且A∪B＝R，
∴⇒1<a<3.
∴实数a的取值范围是(1,3)．

分类讨论思想在集合中的应用

例　(14分)(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可取值组成的集合；
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求由m的可取值组成的集合．
【答题模板】
解　(1)P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；[2分]
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－ ,[4分]
为满足S⊆P可使－＝－3或－＝2，
即a＝或a＝－.[6分]
故所求集合为{0，，－}．[7分]
(2)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅，满足B⊆A；[9分]
若B≠∅，且满足B⊆A，如图所示，
则即∴2≤m≤3.[13分]
故m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．[14分]
【突破思维障碍】
在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
【易错点剖析】
(1)容易忽略a＝0时，S＝∅这种情况．
(2)想当然认为m＋1<2m－1忽略“>”或“＝”两种情况．

解答集合问题时应注意五点：
1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．
2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．
3．注意∅的特殊性．在利用A⊆B解题时，应对A是否为∅进行讨论．
4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．
5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠∅时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝∅.的情况,然后取补集.

(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2010·北京改编)集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M＝________.
答案　{0,1,2}
解析　由题意知：P＝{0,1,2}，
M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．
2．(2011·南京模拟)设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q＝________________.
答案　{1,2,3,4,6,7,8,11}
解析　P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．
3．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________．
答案　3
解析　A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．
4．(2010·天津改编)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是______________．
答案　a≤0或a≥6
解析　由|x－a|<1得－1<x－a<1，
即a－1<x<a＋1.

由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.
5．设全集U是实数集R，

M＝{x|x2>4}，N＝{x|≥1}，则如图中阴影部分所表示的集合是________．
答案　{x|1<x≤2}
解析　题图中阴影部分可表示为(∁UM)∩N，集合M为{x|x>2或x<－2}，集合N为 {x|1<x≤3}，由集合的运算，知(∁UM)∩N＝{x|1<x≤2}．
6．(2011·泰州模拟)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数为________．
答案　4
解析　由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．
7．(2009·天津)设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝______________.
答案　{2,4,6,8}
解析　A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁UB)＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．
8．(2010·江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝____.
答案　1
解析　∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
二、解答题(共42分)
9．(14分)集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B.
解　∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}
＝{x|－6≤x≤1}．(3分)
B＝{x|x2＋3x>0}＝{x|x<－3或x>0}．(6分)
如图所示，
∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}＝R.(10分)
A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3或x>0}
＝{x|－6≤x<－3，或0<x≤1}．(14分)
10．(14分)(2011·南通模拟)已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－<x≤2}．若B⊆A，求实数a的取值范围．
解　当a＝0时，显然B⊆A；(2分)

当a<0时，
若B⊆A，如图，
则(6分)
∴∴－<a<0；(8分)
当a>0时，如图，若B⊆A，

则(11分)
∴∴0<a≤2.(13分)
综上知，当B⊆A时，－<a≤2.(14分)
11．(14分)已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}，
(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．
解　由≤0，
所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}．(3分)
(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，
则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，(6分)
所以A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．(10分)
(2)因为A＝{x|－1<x≤5}，
A∩B＝{x|－1<x<4}，(12分)
所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.
此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，
故实数m的值为8.(14分)