这样的数列陷阱你会掉进去吗？.doc

作者简介：
曹标平：男，湖北襄阳五中数学教师
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这样的数列陷阱你会掉进去吗？
湖北襄阳五中 曹标平 441057
数列因为比较抽象，所以在学习的过程中，很多学生学起来比较吃力，经常会发生一些连自己很难找到原因的错误．这里主要看一些比较常见但容易忽视的几个陷阱．
陷阱1：等比数列求和时忽视讨论公比是否为1
例1.求和：
分析：当时，是常数列0,0,0，……，0；当时，是等比数列，在求和时要讨论公比是否为1.
解：当时，原式=0；
当时，原式=1+1+1+……+1=n;
当且时，原式=.
综上：原式=.
陷阱2：忽视递推关系成立的范围
例2.已知数列中，，且当时，，求数列的通项公式．
错解：设，而，
所以 ……①
……②
相减得：， ……③
所以是以为首项，2为公比的等比数列，．
分析：由所求的的通项公式知，而由题设知，上面所求的结果明显不对，那么问题出在哪里呢？仔细研究发现，因为①式是在的条件下成立，所以基于①式得到的③式也是在的条件下成立，即是等比数列，并不能保证是等比数列，所以正确答案应该是．
练习１．已知数列中，，且当时，，求数列的通项公式．（答案：）
陷阱3：忽视值的符号
例3. 在等比数列中，表示其前项和，已知，则．
解：由已知条件有方程组．
思路1：根据等比数列的性质知成等比数列，
所以，
解得：或
思路2：，所以．
分析：思路1很明显产生一个多余的结果，造成这种结果的原因在哪里呢？仔细研究发现，
，
所以这一结果应舍去．因此我们发现，在利用一些性质解题时，一定要注意符号优先的原则，否则很容易出错．
例4．已知数列成等比数列，则．
解：等比数列中， ，
，又，故.
练习2．在等比数列中，若是方程的两根，则
解：方程有两正根1,4.
在等比数列中，，又，.
陷阱4：忽视式子的符号
例5. 是各项为正的数列，且，求与．
解法1：n=1时，，求得
时，，，
两式相减并整理得：　　……①
平方得： ……②
记，有，所以是以2为首项，4为公差的等差数列，
所以，即，解得
因为，所以或．
解法2：n=1时，，求得
时，，所以，
整理得：
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，故，
因为是各项为正的数列，所以，．
分析：像这种已知与的混合关系式，求的问题常用的是两个思路：思路１，消去，将已知关系式转化为的递推关系式，从而求；思路２，消去，将已知关系式转化为的递推关系式，先求出后再求．本题的解法1采用的就是第一种思路，解法2采用的是第二种思路，但解法1很明显产生了一个多余的结果，原因又出在哪里呢？仔细研究发现，问题主要出现在对①式的平方上，因为，一平方就容易产生增根．那么如何舍掉其中的一个结果呢？因为时，，，
所以，，故时，．所以应舍去．