空间元素位置关系知识要点.doc

空间元素位置关系 知识要点
2012-11-2
一、空间的直线与平面
1、平面：几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.
(1)平面的表示方法：（1）字母表示 ；（2）图形表示.
(2)用集合论中的符号表示它们之间的关系：课本第20页列表
2.平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
直接证法
3.证题方法
反证法
证题方法

间接证法

同一法

4.空间线面的位置关系
平行—没有公共点
共面
(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行，又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点
相交—有一条公共直线(无数个公共点)
(3)平面与平面
平行—没有公共点
5.异面直线的判定
（1）证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
（2）判定定理：平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.
6.线面平行与垂直的判定
(1)两直线平行的判定
①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.
②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.
③平行于同一直线的两直线平行，
即若a∥b,b∥c,则a∥c.
④垂直于同一平面的两直线平行，
即若a⊥α，b⊥α，则a∥b
⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，
即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b
(2)两直线垂直的判定
①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.
即若b∥c,a⊥b,则a⊥c
③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.
即若a⊥α,bα，a⊥b.
(3)直线与平面平行的判定
①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.
即若aα,bα，a∥b,则a∥α.
③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，
即若α∥β,lα，则l∥β.
(4)直线与平面垂直的判定
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.
即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，
即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.
(5)两平面平行的判定
①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，
即无公共点α∥β.
②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，
即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.
(6)两平面垂直的判定
①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，
即二面角α－a－β=90°α⊥β.
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，
即若l⊥β,lα，则α⊥β.

(7)线、线关系和线、面关系的辨证法

7.空间中的各种角
㈠等角定理及其推论
定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
㈡异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,
则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围：0°＜θ≤90°.
(3)求解方法：①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
㈢直线和平面所成的角
(1)定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.
一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围：0°≤θ≤90°
(3)求解方法：①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
㈣二面角及二面角的平面角
(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
②找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(Ⅰ)定义法；(Ⅱ)垂面法；(Ⅲ)三垂线法；(Ⅳ)根据特殊图形的性质
㈤求空间解的步骤
①作图；②证明；③指角；④计算；⑤结论
3