频率估计概率.doc

昂思多初级中学九年级数学（上）教案
25.3 用频率估计概率

教学目标
1. 知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．

2. 会根据问题的特点，用统计来估计事件发生的概率，培养分析问题，解决问题的能力.

3. 让学生经历硬币实验和投图钉实验，对数据进行收集、整理、描述和分析，通过“猜想试验——收集数据——分析结果”的探索过程，体验频率的随机性与规律性，丰富对随机现象的体验，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念．

4. 通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法.

5. 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲，体验数学的价值与学习的乐趣．通过概率意义教学，渗透辩证思想教育．

教学重点

对实验数据进行收集、整理、描述和分析．通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率．

教学难点

1. 用频率估计概率方法的合理性．

2. 对大量重复试验得到频率的稳定值的分析．

课时安排

2课时．

第1课时

教学内容
25.3 用频率估计概率（1）．
教学目标
1．知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
2．让学生经历硬币实验和投图钉实验，对数据进行收集、整理、描述和分析，通过“猜想试验——收集数据——分析结果”的探索过程，体验频率的随机性与规律性，丰富对随机现象的体验，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念．
3．在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲，体验数学的价值与学习的乐趣．通过概率意义教学，渗透辩证思想教育．
教学重点
对实验数据进行收集、整理、描述和分析．
教学难点
用频率估计概率方法的合理性．
教学过程
一、导入新课
问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去，我很为难，真不知该把球给谁，请大家帮我想个办法来决定把球票给谁．
生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……
教师对同学的较好想法予以肯定．（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法．如抓阄、投硬币）
追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？
学生讨论：这样做公平，能保证小强与小明得到球票的可能性一样大．
过渡：抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.5．这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢？
二、新课教学
1．试验：把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次．整理同学们获得的试验数据，并完成下．

抛掷次数n
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
“正面向上”的频数m

“正面向上”的频率

全班学生3人一组，进行实验．第1组的数据填在第1列，第1，2组的数据之和填在第2列……10个组的数据之和填在第10列．
如果在抛掷硬币n次时，出现m次“正面向上”，则称比值为“正面向上”的频率．
教师在学生填写后，根据上表的数据，在下图中标注出对应的点．

问题1：频率和概率有什么不同？
问题2：如果重复实验次数增多，结果会怎样？
问题3：随着重复实验次数的增加，“正面向上”的频率有什么规律？
教师引导学生思考这3个问题，理解用频率估算概率的合理性和必要性，鼓励学生探索数据中隐藏的规律，提高学生的统计意识．
2．历史上的抛掷硬币的试验．
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验．其中一些试验结果见下表：

实验者
抛掷次数n
“正面向上”的次数m
“正面向上”的频率
棣莫弗
2 048
1 061
0.518
布丰
4 040
2 048
0.506 9
费勒
10 000
4 979
0.497 9
皮尔逊
12 000
6 019
0.501 6
皮尔逊
24 000
12 012
0.500 5

思考：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么?
可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5附近摆动．一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在0.5附近摆动的幅度会越来越小．这时，我们称“正面向上”的频率稳定于0.5．它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一个数值．
当“正面向上”的频率稳定于0.5时，“反面向上”的频率也稳定于0.5．
总结：实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．
问题1：你怎样理解“固定数”？
问题2：“正面向上”的概率是0.5，连续掷2次，结果一定是“正面向上”和“反面向上”各1次吗？
教师让学生思考、分析，通过问题，深化理解．
“固定数”就是“概率”；概率是0.5并不能保证掷2n次硬币一定恰好有n次“正面向上”，只是当n越来越大时，正面向上的频率会越来越稳定于0.5．
可见，概率是针对大量重复试验而言的，概率具有稳定性．
三、巩固练习
教材第144页练习1、2．
四、课堂小结
今天学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题25.3 第1、3题．

第2课时

教学内容
25.3用频率估计概率（2）．
教学目标
1．学会根据问题的特点，用统计来估计事件发生的概率，培养分析问题，解决问题的能力.
2．通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法.
3．通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.
教学重点
通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率．
教学难点
大量重复试验得到频率的稳定值的分析．
教学过程
一、导入新课
什么是频率？怎样用频率估计概率？
通过复习，导入新课的教学．
二、新课教学
问题1 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？
幼树移植成活率是实际问题中的一种概率．这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计．
在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率.随着移植数n越来越大，频率会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值．
教师引导学生补全教材第146页统计表中的空缺，然后完成表下的填空．
学生计算、填写，然后分析，发现：随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定．当移植总数为14 000时，成活的频率为0.902，于是可以估计幼树移植成活的概率为0.9．
问题2 某水果公司以2元/kg的成本价新进10 000 kg柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计．并把获得的数据记录在教材第147页表中，请你帮忙完成此表．
教师引导学生计算、填表，从表中可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定．柑橘总质量为500 kg时的损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1(结果保留小数点后一位)．由此可知，柑橘完好的概率为0.9．
根据估计的概率可以知道，在10 000 kg柑橘中完好柑橘的质量为
10 000×0.9＝9 000（kg）．
完好柑橘的实际成本为
≈2.22（元/kg）．
设每千克柑橘的售价为x元，则
(x－2.22)×9 000＝5 000.
解得
x≈2.22（元）．
因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润5 000元．
三、巩固练习
1．某射击运动员在同一条件下练习射击，结果如下表所示：

射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
49
44
92
178
452
击中靶心频率m/n

（1）计算表中击中靶心的各个频率并填入表中．
（2）这个运动员射击一次，击中靶心的概率约是_____．
学生独立完成，小组内订正．
2．教材第147页练习．
四、课堂小结
今天你学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题25.3 第4、5题．

教案B

第1课时

教学内容
25.3 用频率估计概率（1）．
教学目标
1．知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
2．让学生经历硬币实验和投图钉实验，对数据进行收集、整理、描述和分析，通过“猜想试验——收集数据——分析结果”的探索过程，体验频率的随机性与规律性，丰富对随机现象的体验，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念．
3．在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲，体验数学的价值与学习的乐趣．通过概率意义教学，渗透辩证思想教育．
教学重点
对实验数据进行收集、整理、描述和分析．
教学难点
用频率估计概率方法的合理性．
教学过程
一、导入新课
用列举法可以求一些事件的概率．实际上，我们还可以利用多次重复试验，通过统计试验结果估计概率．
二、新课教学
抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生的概率都是0.5．这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢？ 我们可以用以下实验进行检验．
1．教师布置试验任务．
（1）明确规则：把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行．
（2）明确任务：每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上” 的频数及 “正面朝上”的频率，整理试验的数据，并记录下来．
2．教师巡视学生分组试验情况．
注意：（1）观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难；（2）要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控．
3．各组汇报实验结果．
由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入．
提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因．
在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性，引导他们小组合作，进一步探究．
解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作．
4．全班交流．
把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上，全班同学对数据进行累计，按照教材第142页的要求填好表25-3．并根据所整理的数据，在图25.3-1上标注出对应的点，完成统计图．
5．想一想．
（1）观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？
注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动．
（2）随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？
在学生讨论的基础上，教师帮助归纳，使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5．这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小．
说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难．通过以上实践探究活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．鼓励学生在学习中要积极合作交流，思考探究.学会倾听别人意见，勇于表达自己的见解．
为了给学生提供大量的、快捷的试验数据，利用计算机模拟掷硬币试验的课件，丰富学生的体验、提高课堂教学效率，使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的规律性——大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近．
其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验．让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计（教材表25-4）．
通过亲自动手实践，电脑辅助演示，历史材料展示，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．同时，又感受到无论试验次数多么大，也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率.
6．下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？
学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到0.5．
教师归纳：（1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）．也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样．
（2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等．
说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验——收集数据——分析结果的探索过程，在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构，深化对概率的理解．
三、巩固练习
教材第144页练习1、2．
四、课堂小结
今天学习了什么？有什么收获？
五、布置作业
习题25.3 第1、3题．

第2课时

教学内容
25.3用频率估计概率（2）．
教学目标
1．学会根据问题的特点，用统计来估计事件发生概率，培养分析、解决问题的能力.
2．通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法.
3．通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.
教学重点
通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.
教学难点
大量重复试验得到频率的稳定值的分析.
教学过程
一、导入新课
国家在明年将继续实施山川秀美工程，各地将大力开展植树造林活动．为此林业部要考查幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？
二、新课教学
1．教师引导学生阅读教材第142、143页问题1，完成表25-5．
思考：在实验时为了使实验结果更接近现实情况，需要注意些什么问题？
2．同桌交流，对照结果．
3．学生发表见解，相互评判．
4．小组讨论:在进行移植试验时，移植的总数是越多越好还是越少越好？
教师点评：实验时要避免走两个极端即既不能为了追求精确的概率而把实验的次数无限的增多，也不能为了图简单而使实验次数很少.
2．教师引导学生阅读教材第143、144页问题2，完成表25-6．
（1）同桌合作完成表25-6；
（2）根据表中数据填空：
这批柑橘损坏的概率是______，则完好柑橘的概率是_______，如果某水果公司以1元/千克的成本进了20000千克柑橘，则这批柑橘中完好柑橘的质量是________，若公司希望这些柑橘能够获利9000元，那么售价应定为_______元/千克比较合适．
6．小组长检查完成情况，组织本组成员交流，力争人人弄懂．
7．讨论：如果你是柑橘销售商，在整个销售过程中应注意些什么?
8．学生发表见解，相互评判．
9．教师点评．
三、巩固练习
1．经过大量试验统计，香樟树在我市的移植的成活率未95%.
（1）吉河镇在新村建设中栽了4000株香樟树，则成活的香樟树大约是______株．
（2）双龙镇在新村建设中要栽活2850株香樟树，需购幼树______株．
2．一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球个若干个，每个球出了颜色外没有任何区别．
（1）小王通过大量反复实验（每次取一个球，放回搅匀后再取）发现，取出黑球的概率稳定在四分之一左右，请你估计袋中黑球的个数．
（2）若小王取出的第一个是白球，将它放在桌上，从袋中余下的球中在再任意取一个球，取出红球的概率是多少?
教师指导学生完成，然后同桌互查．
四、课堂小结
本节课你学到了什么?有什么收获？
五、布置作业
习题25.3 第4、5题．

单元测试题

一、选择题．
1．下列事件中，必然事件是（ ）
A．中秋节晚上能看到月亮 B．今天考试小明能得满分
C．早晨的太阳从东方升起 D．明天气温会升高
2．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
3．下列事件中是随机事件有（ ）个．
（1）在标准大气压下水在0℃时开始结成冰；
（2）掷一枚六个面分别标有l～6的数字的均匀骰子，骰子停止转动后偶数点朝上；
（3）从一副扑克牌中任意抽出一张牌，花色是红桃；
（4）打开电视机，正在转播足球比赛；
（5）小麦的亩产量为1000公斤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）
A．12 B．9 C．4 D．3
5．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．小刚与小亮一起玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”、“2”、“3”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止．若两指针指的数字和为奇数，则小刚获胜；否则，小亮获胜．则在该游戏中小刚获胜的概率是（ ）．
A． B． C． D．
7．在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖,参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为（ ）．
A. B.
C. D.
9．将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c，正好是直角三角形三边长的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．口袋中装有一红二黄二蓝共5个小球，它们大小、形状等完全一样，每次摸出两个小球恰为一黄一蓝的机会为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题.
1．“天有不测风云”这句话是说：世界上有很大事件具有偶然性，人们不能_____这些事情是否会发生．
2．“抛出的蓝球会下落”，这个事件是 事件．（填“确定”或“不确定”）
3．10张卡片分别写有0至9十个数字，将它们放入纸箱后，任意摸出一张，则P（摸到数字2）＝　　　 　　，P（摸到奇数）＝　　　　 　．
4．一只布袋中有三种小球（除颜色外没有任何区别），分别是2个红球，3个黄球和5个蓝球，每一次只摸出一只小球，观察后放回搅匀，在连续9次摸出的都是蓝球的情况下，第10次摸出黄球的概率是　　 　　．
5．掷两枚普通硬币，出现两个正面的概率是 ．　
6．小华与父母一同从南京乘火车到苏州乐园游玩，火车车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在父母中间的概率是 ．　
7．小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，由小明先取，谁取到最后剩下的一支铅笔的人获胜，如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应取走 支．
8．一副没有大小王的扑克，共52张，抽出一张是红桃的概率为　　 　．
9．小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 ．
10．如图所示．小李和小陈做转陀螺游戏．他们同时分别转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是_____________.

三、解答题.
1．一个桶里有60个弹珠——一些是红色的，一些是蓝色的，一些是白色的．拿出红色弹珠的概率是35%，拿出蓝色弹珠的概率是25%．桶里每种颜色的弹珠各有多少？

2．将一枚硬币连掷3次，出现“两正，一反”的概率是多少？

3．从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果选得男生的概率为，求男女生数各多少？

4．在学校举办的游艺活动中，数学俱乐部办了个掷骰子的游戏,玩这个游戏要花四枚5角钱的硬币,一个游戏者掷一次骰子，如果掷到点数6，游戏者得到奖品, 每个奖品要花费俱乐部8元,俱乐部能指望从这个游戏中赢利吗? 请说明理由．

5．在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数，让参加者猜商品价格．被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位中从左到右连在一起的某4个数字．如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意猜一个，求他猜中该商品价格的概率．

6．甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人．如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大?为什么?

参考答案

一、选择题．
1．C 2．D 3 .D 4．A 5．A 6． B 7．B 8．C 9.C 10．D
二、填空题.
1．确定 2．确定 3．， 4． 5． 6． 7．2 8． 9．
10．
三、解答题.
1．红色弹珠21个，蓝色弹珠15个，白色弹珠24个
2．
3．男生24人，女生12人
4．中奖的概率是，即平均每6个人玩，有一个人能中奖，即收2×6＝12元，要送一个8元的奖品．因为12＞8，所以能盈利．
5．解：所有连在一起的四位数共有6个，商品的价格是其中的一个．由于参与者是随意猜的，因此，他一次猜中商品价格的概率是．
6．因为已经限定在身高160厘米以上的女生中抽选旗手，在甲班被抽到的概率为,在乙甲班被抽到的概率为，∵＞，∴在甲班被抽到的机会大．

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