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用有形的“图”支撑无形的“数”
——以分数解决问题教学为例
在小学数学知识体系中，分数解决问题是一个重要内容，同时又是一个难点知识。原因是分数解决问题中数量之间的关系是以分率的形式来联系的，相对于其它的数量关系更为抽象和复杂，所以学生在学习分数解决问题时普遍感觉这个内容比较难。
在分数解决问题中，首先要正确理解分数的意义，从纷繁复杂的数量关系中找到单位“1”，然后逐一分析其它数量与单位“1”之间的关系，才能找到解决的方法。这个过程是复杂的，也是抽象的。而处于小学阶段的儿童由于受到这个年龄阶段思维特征的影响，无疑是以依靠表象进行联想的形象思维为主的，所以必须为学生架起一座桥梁，来提高学生对这类题目的分析能力和解答能力。
“数形结合”无疑是联系两者的一座很好的桥梁。在判断分析数量之间的关系时，运用数形结合的方式把各个数量及其相互关系直观、形象地表示出来，可以调动学生思维的积极性，提高学生对这类问题的分析和解决能力。
因为图形可以为抽象的事物提供支撑，有利于学习者建立正确的表象进行联想，然后“按图索骥”便能很快发现解题的线索，使问题迅速得到解决。下面笔者就以分数解决问题教学为例，谈谈运用线段图提高分数解决问题的分析和解题能力方面的一些实践。
一、运用线段图充分理解数量之间的关系
(一)运用线段图可以更好地理解分数的意义

要提高学生分数解决问题的分析能力，首先要帮助学生正确理解分数的意义，这是分析解答分数解决问题的前提条件，运用线段图可以让学生更好地理解分数的意义。
在教学分数解决问题时，为了学生能更好地理解分数的意义，我出示了这样的题目：仓库有一批货物，运走了。我先让学生把这条信息用线段图表示出来，学生经过尝试，把以上信息用线段图表示出来得到图（1-1）。通过这样的尝试，学生能很直观的感受到运走货物的是这堆货物总量的一部分。
于是，可以进一步引导学生进行观察，从图中可以看出把这堆货物的总量看作单位“1”，把它平均分成4份，运走的货物占了4份中的3份。这样，学生对“仓库有一批货物，运走了。”这句话的意义会有更加深刻的理解，也为学生建立正确的表象提供基础。
（二）运用线段图正确理解“量率对应关系”
“量率对应关系”是分数解决问题中的一种最基本的数量关系。在分数解决问题中，通常用两种意义不同的量来表示同一事物。一个是具体的数量，另外一个量或直接或间接地反映这个实际数量对应单位“1”的几分之几，这个量我们把它叫作“率”。这两个量是相互对应的，一般称之为“量率对应”。
运用线段图来表示和比较的话，可以使这组量率对应关系变得更加形象和直观，学生更容易理解。比如在一次教学中，我向学生出示了这样的信息：这次考试获得优秀的学生占了全班人数的，获得优秀的学生有40人。然后让学生把以上信息用线段图表示出来。学生经过尝试，将以上信息表示为如图（1-2）。在此基础上，我先让学生观察线段图，引导学生从中寻找这些信息：“获得优秀的40位学生”是一个具体的量，是这个量在单位“1”中所占的分率。
再引导学生观察这两者其实是一致的、对应的，前者是“实际量”，后者是这个量在单位“1”中所占的“分率”，这样的对应关系称为“量率对应关系”。
（三）运用不同类型的线段图来表示常见的数量关系
分数解决问题中数量关系体现在标准量、比较量和分率三者之间，理解这些基本的数量关系是提高解决问题分析能力的关键，运用图形可以帮助学生更加直观地理解这些数量关系。学生在实际运用中，有时会产生这样的困惑，为什么有的时候要用单线段图来表示，而有的时候要用双线段图来表示。教学中，我用一组比较题让学生进行区分。
我先出示了第⑴题：有一堆货物共有20吨，运走了，运走了多少吨？学生经过尝试，把题中的信息和问题用线段图表示为如图（1-3）。
于是，我又向学生出示了第⑵题：甲仓库有货物40吨，乙仓库的货物比甲仓库多，乙仓库有货物多少吨？学生经过尝试，把题中的信息和问题用线段图表示为如图（1-4）
在此基础上，我让学生比较：这两种情况有什么不同？学生经过比较和分析，发现第一题中涉及的两个数量是同一个量的部分与整体的关系，而第二题是两个量之间在进行比较，与第一题的情况有区别。于是，我趁势引导学生总结：如果是同一个量的部分与整体的关系，我们用单线段图来表示就可以了，如上面的第⑴题；如果是两个量之间进行比较，那我们用双线段图来表示更加清晰，如上面的第⑵题。
经过这样的尝试与归纳，就能让学生明确如何运用线段图来表示常见的数量关系，并规范线段图的作图格式与一般操作方法。因为在很多情况下，分数解决问题中的数量关系错综复杂，学生往往一时理不清楚。
通过图形则可以把题目中的数量关系形象直观地表示出来。学生只有掌握了正确规范的作图方法，才能更好地运用线段图来理解分数解决问题中数量之间关系，就像上面第⑵题中，根据线段图学生可以清楚地找到，所求的乙仓库的货物数量与相对应，要求乙仓库有货物多少吨，就是求40吨的是多少吨。
二、运用线段图深化解题思路
（一）运用线段图深化对应思想
“量率对应关系贯穿于整个分数解决问题知识体系，弄清量率对应关系是提高分数解决问题分析能力的有效突破口。”学生掌握和理解了基本的概念后，就要运用线段图进行有针对性的训练，帮助学生对所学知识进行综合运用和系统化地梳理，这是一个深化和提升过程。
在教学中我进行了这样的尝试，向学生出示这样一道题目：水果店运来一批水果，有苹果、香蕉和桔子，苹果占了，香蕉占了，桔子有40千克，这批水果一共有多少千克？我先让学生用线段图把题中的信息和问题表述出来，学生画出了线段图（2-1）。然后我提问：从图中我们可以找到哪些对应关系？学生通过观察和分析线段图，很快找到了这样一些对应关系：①苹果的数量与这批水果总量的相对应；②香蕉的数量与这批水果总量的相对应；③剩下的桔子的数量与这批水果总量的相对应；④香蕉比苹果多的数量与这批水果总量的相对应。
通过这样的训练，可以帮助学生更快地找到量率对应关系，让学生从众多数量中，准确地找到相对应的量，这对提高学生分数解决问题的分析和解答能力起着很重要的作用。
（二）运用线段图沟通知识间的内在联系
数学知识本身就是一个内在联系紧密的整体，旧知识的不断深化为新知识的学习创造了迁移条件，教学中我们可以通过线段图来帮助学生沟通知识间的内在联系。
在一次教学中，我先出示了线段图图（2-2），让学生通过图形找到单位“1”。待学生正确找到了单位“1”之后，引导学生正确理解甲、乙两个量之间的关系。即把单位“1”（甲）平均分成5份，乙相当于甲的3份，也就是说甲是5份，乙是3份，甲、乙一共是8份。在此基础上，进一步引导学生思考：根据这个基本的数量，能否找到更多体现这两个量关系的数学信息？学生在这样的引导下，找到了很多体现这两个量关系的数学信息，比如：①甲︰乙=5︰3，甲是乙的；②乙︰甲=3︰5，乙是甲的；③甲︰总数=5︰8，甲占总数的；④乙︰总数=3︰8，乙占总数的，等等。
通过这样的沟通，使学生在学习这部分知识时，能够更好地理解比的意义，为学习新知识打下了良好的知识基础和思维基础。

（三）通过看图编题训练进一步深化和巩固学生的解题思路
在教学中合理运用线段图不仅可以帮助学生进一步弄清基本的数量关系，更好地掌握各类题目的结构和特征，而且可以开阔学生的思路，促进学生思维的发展，提高学生逻辑思维能力。
在一次教学中，我向学生出示图（2-3），让学生根据这幅线段图进行编题练习。学生们根据图编出了以下题目：①甲厂有工人600人，乙厂比甲厂多，乙厂有多少工人？②甲厂有工人600人，乙厂比甲厂多，乙厂比甲厂多多少工人？③乙厂有工人720人，比甲厂多，甲厂有多少工人？④乙厂工人比甲厂多120人，乙厂比甲厂多，甲厂有多少工人？乙厂有多少工人？……
学生进行编题的过程是对数量关系和概念进一步理解的过程，通过看图编题，可以有效地沟通知识间内在的联系，帮助学生提高分析能力和解题能力。
抽象思维和形象思维是人们认识事物的两种不同的方式，大多数情况下这两种思维方式是相互渗透、相互依存的。培养小学生的思维能力首先应该重视培养他们的形象思维能力，没有形象思维的发展就谈不上观察力、想象力和创造力的发展。通过数形结合的方法，可以帮助学习者建立表象并使其能依靠表象进行联想，充分调动学习者的思维积极性，从而可以有效地提高学习者的观察力和想象力。