椭圆、双曲线综合训练.doc

椭圆、双曲线综合训练
1、求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程.

2、如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求△的面积.
x
y
B
N

3、直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

4、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过，两点。
（1）求椭圆的离心率；
(2)在椭圆上是否存在点到定点(其中)的距离的最小值为1，若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请给予证明．

5、已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．
（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；
（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

6、已知双曲线的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，
，．
（1）求双曲线的方程；
（2）设Q是双曲线上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M，若，
求直线的斜率．

7、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，⊙O：x2＋y2＝b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
(1) 若P(－1，)，PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
(2) 是否存在这样的椭圆C，使得是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．

8、已知是椭圆上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交于两点，设为椭圆与轴负半轴的交点，且.求实数的取值范围

9、设、分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中 为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

答案1、求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程.
1、
2、如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求△的面积.
[解] [解法一] (1)轴， 的坐标为.
x
y
B
N
由题意可知 在椭圆上
得 所求椭圆方程为.
[解法二]由椭圆定义可知
. 由题意，.
又由△可知 ，，
，又，得 椭圆的方程为.
[解] (2) 直线的方程为.
由
,，
又，.
3、直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？
解： 把代入 整理得：……（1）
当时，
由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点
若A、B在双曲线的同一支，须>0 ，所以或
故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上

4、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过，两点。
（1）求椭圆的离心率；
(2)在椭圆上是否存在点到定点(其中)的距离的最小值为1，若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请给予证明．
解：（1）设椭圆方程为
椭圆方程为﹒故椭圆的离心率为．
（2）设存在点P满足题设条件，∴=
又 =，
∴==，
当即，的最小值为 依题意，
，
当 即，此时，
的最小值为．依题意，∴，此时点P的坐标是
故当时，存在这样的点满足条件，点的坐标是．

5、已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．
（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；
（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．
解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．
设两点坐标分别为．
由得．所以．
又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以，．
（Ⅱ）设所在直线的方程为，
由得．设两点坐标分别为，
因为在椭圆上，所以．
则，，所以．
又因为的长等于点到直线的距离，即．
所以．
所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为．

6、已知双曲线的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，
，．
（1）求双曲线的方程；
（2）设Q是双曲线上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M，若，
求直线的斜率．
解：（1）由条件知，，，∴，代入中得，∴，．故双曲线的方程为．（6分）
（2）∵点F的坐标为，∴可设直线l的方程为，令，得，即．设，则由得
，即，即
∵，∴，得，．
故直线l的斜率为．（12分）

7、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，⊙O：x2＋y2＝b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
(1) 若P(－1，)，PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
(2) 是否存在这样的椭圆C，使得是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．
7、解 (1) ∵P(－1，)在⊙O：x2＋y2＝b2上， ∴b2＝4.(2分)
又∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OP，∴·＝0，
即(－1，)·(－1＋a，)＝0，解得a＝4. ∴椭圆C的方程为＋＝1.(5分)
(2) 设F(c,0)，c2＝a2－b2，
设P(x1，y1)，要使得是常数，则有(x1＋a)2＋y＝λ，λ是常数．
即b2＋2ax1＋a2＝λ(b2＋2cx1＋c2)，(8分)
比较两边，b2＋a2＝λ(b2＋c2)，a＝λc，(10分) 故cb2＋ca2＝a(b2＋c2)，即ca2－c3＋ca2＝a3，
即e3－2e＋1＝0，(12分) (e－1)(e2＋e－1)＝0，符合条件的解有e＝，
即这样的椭圆存在，离心率为.(16分)

8、已知是椭圆上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交于两点，设为椭圆与轴负半轴的交点，且.求实数的取值范围
8、解（1）∵过（0，0） 则
∴∠OCA=90°， 即 …………2分
又∵ 将C点坐标代入得
解得 c2=8，b2=4 ∴椭圆m： …………4分
（2）由条件D（0，－2） ∵M（0，t）
1°当k=0时，显然－2<t<2 …………6分
2°当k≠0时，设
消y得 …………8分
由△>0 可得 ①………………9分
设
则 ∴ …11分
由
∴ ②
∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t的范围是（1，4）…12分 综上t∈（－2，4）

9、设、分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中 为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
解：（1）解法一：易知
所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）
（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又 ∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或

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