空间的角的计算.doc

江苏省白蒲高级中学高二数学组 空间向量与立体几何
3.2.3 空间的角的计算（1）
学习目标：
能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题；
学习过程：
活动一：（复习回顾）
1. 如何求空间两条异面直线所成的角？它的取值范围是多少？
2. 如何求直线与平面所成的角？它的取值范围是多少？
3. 如何求二面角的平面角？它的取值范围是多少？
4. 向量的夹角公式为 .

活动二：（求异面直线所成的角）

例1. 在正方体中，点分别在上，且,,求与所成的角的余弦值。

例2、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小

思考：两条异面直线方向向量的夹角与这两条异面直线所成的角有什么关系？

活动三：（求直线与平面所成的角）
C1
例3、在正方体中，是的中点，点在上，且,求直线与平面所成角的的余弦值（向量法）。

思考：直线的方向向量和平面的法向量的夹角与直线与平面所成的角有什么关系？哪个地方易错？

小结： 为直线的方向向量， 为平面的法向量，设与所成的角为，则有 .

3.2.3 空间的角的计算（2）
学习目标：
能用向量方法解决二面角的计算问题.
学习过程：
例1、在正方体中，求二面角的平面角的余弦值.

例2、直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值；

例3、在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为.

思考：两平面法向量的夹角与这两个平面所成的二面角有什么关系？

小结：设二面角的两个半平面的法向量分别是，二面角的大小为，则有 .

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