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带电粒子在场中的运动

一、 在电场中的运动
不计重力的带电粒子在电场中的运动
1．带电粒子在电场中加速
当电荷量为q、质量为m、初速度为v0的带电粒子经电压U加速后，速度变为vt，由动能定理得：qU＝mvt2－mv02．若v0＝0，则有vt＝，这个关系式对任意静电场都是适用的．
对于带电粒子在电场中的加速问题，应突出动能定理的应用．
2．带电粒子在匀强电场中的偏转
电荷量为q、质量为m的带电粒子由静止开始经电压U1加速后，以速度v1垂直进入由两带电平行金属板产生的匀强电场中，则带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，其轨迹是一条抛物线(如图1所示)．
qU1＝mv12
设两平行金属板间的电压为U2，板间距离为d，板长为L．
(1)带电粒子进入两板间后
粒子在垂直于电场的方向上做匀速直线运动，有：
vx＝v1，L＝v1t
粒子在平行于电场的方向上做初速度为零的匀加速直线运动，有：
vy＝at，y＝at2，a＝＝．
(2)带电粒子离开极板时
侧移距离y＝at2＝＝
轨迹方程为：y＝(与m、q无关)
偏转角度φ的正切值tan φ＝＝＝
若在偏转极板右侧D距离处有一竖立的屏，在求电子射到屏上的侧移距离时有一个很有用的推论，即：所有离开偏转电场的运动电荷好像都是从极板的中心沿中心与射出点的连线射出的．这样很容易得到电荷在屏上的侧移距离y′＝．
以上公式要求在能够证明的前提下熟记，并能通过以上式子分析、讨论侧移距离和偏转角度与带电粒子的速度、动能、比荷等物理量的关系．
培优练习
1.一带正电荷的质点，在电场力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知质点的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是（虚线是曲线在b点的切线）

2. 图中虚线为匀强电场中与场强方向垂直的等间距平行直线。两粒子M、N质量相等，所带电荷的绝对值也相等。现将M、N从虚线上的O点以相同速率射出，两粒子在电场中运动的轨迹分别如图中两条实线所示。点a、b、c为实线与虚线的交点，已知O点电势高于c 点。若不计重力，则
A. M带负电荷，N带正电荷
B. N在a点的速度与M在c点的速度大小相同
C. N在从O点运动至a点的过程中克服电场力做功
D. M在从O点运动至b点的过程中，电场力对它做的功等于零
3. 空间某一静电场的电势在轴上分布如图所示，轴上两点B、C点电场强度在方向上的分量分别是、，下列说法中正确的有
A．的大小小于的大小 B．的方向沿轴正方向
C．电荷在点受到的电场力在方向上的分量最大
D．负电荷沿轴从移到的过程中，电场力先做正功，后做负功
4. 图中的实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的带正电粒子的运动轨迹．粒子先经过M点，再经过N点，可以判定
A．M点的电势小于N点的电势 B．粒子在M点的动能小于在N点的动能
C．粒子在M点受到的电场力大于在N点受到的电场力 D．粒子在M点的电势能小于在N点的电势能
5.如图所示，图中K、L、M为静电场中的3个相距较近的等势面.一带电粒子射入此静电场中后，沿abcde轨迹运动.已知K＜L＜M,且粒子在ab段做减速运动.下列判断中正确的是
A.粒子带负电 B.粒子在a点的加速度大于在b点的加速度
C.粒子在a点与e点的速度大小相等 D.粒子在a点的电势能大于在d点的电势能
6. 如图所示，一个带电荷量为＋Q 的点电荷甲固定在绝缘平面上的O点；另一个带电荷量为－q、质量为m的点电荷乙，从A点以初速度v0沿它们的连线向甲滑行运动，运动到B点静止．已知静电力常量为k，点电荷乙与水平面的动摩擦因数为μ，A、B间的距离为s．下列说法正确的是
A．O、B间的距离为
B．点电荷乙从A运动到B的运动过程中，中间时刻的速度大于
C．点电荷乙从A运动到B的过程中，产生的内能为mv02
D．在点电荷甲产生的电场中，A、B两点间的电势差UAB＝
7. 如图所示，A、B两导体板平行放置，在t＝0时将电子从A板附近由静止释放(电子的重力忽略不计)。分别在A、B两板间加四种电压，它们的UAB－t图线如图中的四图所示。其中可能使电子到不了B板的是

8. 图1 (a)为示波管的原理图。如果在电极YY′之间所加的电压图按图( b)所示的规律变化，在电极XX′之间所加的电压按图(c)所示的规律变化，则在荧光屏上会看到的图形是图2中的

图1 图2
9. 如图所示，有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的质点，由两水平极板正中，以相同的初速度v0，先后垂直匀强电场射入，并分别落在负极板上甲、乙、丙三处，可以判定
A．甲处质点带负电，乙处质点不带电，丙处质点带正电
B．三个质点在电场中的运动时间相等
C．三个质点在电场中的加速度a甲＞a乙＞a丙
D．三个质点到达负极的动能E丙＞E乙＞E甲
10. 如图所示为说明示波器工作原理的示意图，已知两平行板间的距离为d、板长为l电子经电压为U1的电场加速后从两平行板间的中央处垂直进入偏转电场．设电子质量为me、电荷量为e．
（1）求经电场加速后电子速度v的大小；
（2）要使电子离开偏转电场时的偏转角度最大，两平行板间的电压U2应是多少？电子动能多大？

l
U1
d

二、 在磁场中的运动
不计重力的带电粒子在磁场中的运动
1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动．
2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．
质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v垂直进入匀强磁场B中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R，运动的周期为T，则有：
qvB＝m＝mRω2＝mvω＝mR()2＝mR(2πf)2
R＝
T＝(与v、R无关)，f＝＝．
3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点．
(1)粒子圆轨迹的圆心的确定
①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2 所示．
②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．
③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图4－4所示．

图4－2　　　　图4－3　　　　　图4－4
(2)粒子圆轨迹的半径的确定
①可直接运用公式R＝ 来确定．
②画出几何图形，利用半径R与题中已知长度的几何关系来确定．在利用几何关系时，要注意一个重要的几何特点，即：粒子速度的偏向角φ等于对应轨迹圆弧的圆心角α，并等于弦切角θ的2倍，如图4－5所示．

图4－5
(3)粒子做圆周运动的周期的确定
①可直接运用公式T＝ 来确定．
②利用周期T与题中已知时间t的关系来确定．若粒子在时间t内通过的圆弧所对应的圆心角为α，则有：t＝·T(或t＝·T)．
(4)圆周运动中有关对称的规律
①从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等，如图4－6所示．
②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出，如图4－7所示．

图4－6　　　　　　　　图4－7
(5)带电粒子在有界磁场中运动的极值问题
刚好穿出磁场边界的条件通常是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
培优练习
1. 空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的圆形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点沿半径方向入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不计重力。下列说法错误的是
A. 入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 B. 入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定相同
C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
2.如图所示，在x＞0，y＞0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xoy平面向里，大小为B，现有四个质量为m，电荷量为q的带电粒子，由x轴上的P点以不同初速度平行于y轴射入此磁场，其出射方向如图所示，不计重力影响，则
A．初速度最大的粒子是沿①方向出射的粒子
B．初速度最大的粒子是沿②方向出射的粒子
C．在磁场中运动经历时间最长的是沿③方向出射的粒子
D. 在磁场中运动经历时间最长的是沿④方向出射的粒子
3. 利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L，一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是
A．粒子带正电
B．射出粒子的最大速度为
C．保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差减小
D．保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
4. 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，磁场方向垂直于圆面。不加磁场时，电子束将通过磁场中心O点而打到屏幕上的中心M，加磁场后电子束偏转到P点外侧。现要使电子束偏转回到P点，可行的办法是
A．减小加速电压 B．增加偏转磁场的磁感应强度
C．将圆形磁场区域向屏幕靠近些 D．将圆形磁场的半径增大些
5. 如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd的中点，如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的带电粒子，恰好从e点射出，则
A．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d点射出
B．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f点射出
C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，也将从d点射出
D．只改变粒子的速度使其分别从e、d、f点射出时，从f点射出所用时间最长
6. 如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ = 30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：
（1）粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。
（2）如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。

7. 如图所示，有一垂直于纸面向外的磁感应强度为B的有界匀强磁场（边界上有磁场），其边界为一边长为L的三角形，A、B、C为三角形的顶点。今有一质量为m、电荷量为＋q的粒子（不计重力），以速度v＝从AB边上某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q射出。若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则
A．|PB|≤L B．|PB|＜L
C．|QB|≤L D．|QB|≤L
8.在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。
⑴请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m。
⑵若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了600，求磁感应强度为多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
o
y
x
B
C
A
·
·
·

三、 在组合场中的运动
1．如图甲所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等．有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直进入第Ⅳ象限的磁场．已知OP之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为
A． B．(2＋5π)
C．(2＋) D．(2＋)
2. 如图所示，质量为m、电荷量为e的质子以某一初速度从坐标原点O沿x轴正方向进入场区，若场区仅存在平行于y轴向上的匀强电场时，质子通过P（d，d）点时的动能为5Ek；若场区仅存在垂直于xOy平面的匀强磁场时，质子也能通过P点。不计质子的重力。设上述匀强电场的电场强度大小为E、匀强磁场的磁感应强度大小为B，则下列说法中正确的是
A. B. C. D.
3. 如图在x轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，x轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为B/2的匀强磁场．一带负电的粒子从原点O以与x轴成角斜向上射人磁场，且在上方运动半径为R（不计重力）。则
A．粒子经偏转一定能回到原点0
B．粒子在轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为2:1
C．粒子完成一次周期性运动的时间为
D．粒子第二次射入轴上方磁场时，沿轴前进3R
4. 如图甲所示，在真空中，有一半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距为R，板长为2R，板间的中心线O1O2与磁场的圆心O在同一直线上．有一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子以速度v0从圆周上的a点沿垂直于半径OO1并指向圆心O的方向进入磁场，当从圆周上的O1点水平飞出磁场时，给M、N两板加上如图4－10乙所示的电压，最后粒子刚好以平行于N板的速度从N板的边缘飞出．(不计粒子所受到的重力、两板正对面之间为匀强电场，边缘电场不计)
(1)求磁场的磁感应强度B．
(2)求交变电压的周期T和电压U0的值．
(3)当t＝时，该粒子从M、N板右侧沿板的中心线仍以速度v0射入M、N之间，求粒子从磁场中射出的点到a点的距离．

5. 如图所示，在直角坐标系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中的等腰直角三角形区域内，分布着磁感应强度均为的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。质量为m＝6.64×10－27kg、电荷量为q＝—3.2×10－19C的带电粒子（不计重力），由静止开始经加速电压为U＝1205V的电场（图中未画出）加速后，从坐标点M（－4，）处平行于x轴向右运动，并先后通过两个匀强磁场区域。
（1）求该粒子在磁场中的运动半径；
（2）在图中画出该粒子从直线x＝－4到直线x＝4之间的运动轨迹，并在图中标明轨迹与直线x＝4交点的坐标；

（3）求该粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间。

6. 如图所示，在一底边长为2L，θ＝45°的等腰三角形区域内(O为底边中点)有垂直纸面向外的匀强磁场. 现有一质量为m，电量为q的带正电粒子从静止开始经过电势差为U的电场加速后，从O点垂直于AB进入磁场，不计重力与空气阻力的影响.
(1)粒子经电场加速射入磁场时的速度？
(2)磁感应强度B为多少时，粒子能以最大的圆周半径偏转后打到OA板？
θ
U
A
B
O
C
L
(3)增加磁感应强度的大小，可以再延长粒子在磁场中的运动时间，求粒子在磁场中运动的极限时间.(不计粒子与AB板碰撞的作用时间，设粒子与AB板碰撞前后，电量保持不变并以相同的速率反弹)

7. 如图所示，在xOy坐标系的第Ⅱ象限内，x轴和平行x轴的虚线之间(包括x轴和虚线)有磁感应强度大小为B1=2×10—2T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，虚线过y轴上的P点，OP=1.0m，在x≥O的区域内有磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场。许多质量m=1.6×10—25kg、电荷量q=+1.6×10—18C的粒子，以相同的速率v=2×105m/s从C点沿纸面内的各个方向射人磁感应强度为B1的区域，OC=0.5 m．有一部分粒子只在磁感应强度为B1的区域运动，有一部分粒子在磁感应强度为B1的区域运动之后将进入磁感应强度为B2的区域。设粒子在B1区域运动的最短时间为t1，这部分粒子进入磁感应强度为B2的区域后在B2区域的运动时间为t2，已知t2=4t1。不计粒子重力．求：
(1)粒子在磁感应强度为B1的区域运动的最长时问t0=?
(2)磁感应强度B2的大小?

四、 在叠加场中的运动
1．高中阶段所涉及的复合场有四种组合形式，即：①电场与磁场的复合场；②磁场与重力场的复合场；③电场与重力场的复合场；④电场、磁场与重力场的复合场．
2．带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析．当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，带电粒子做匀速直线运动(如速度选择器)；当带电粒子所受的重力与电场力等值、反向，由洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动；当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度的方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，运动轨迹也随之不规范地变化．因此，要确定粒子的运动情况，必须明确有几种场，粒子受几种力，重力是否可以忽略．
3．带电粒子所受三种场力的特征
(1)洛伦兹力的大小跟速度方向与磁场方向的夹角有关．当带电粒子的速度方向与磁场方向平行时，f洛＝0；当带电粒子的速度方向与磁场方向垂直时，f洛＝qvB．当洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面时，无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功．
(2)电场力的大小为qE，方向与电场强度E的方向及带电粒子所带电荷的性质有关．电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与其始末位置的电势差有关．
(3)重力的大小为mg，方向竖直向下．重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与其始末位置的高度差有关．
注意：①微观粒子(如电子、质子、离子)一般都不计重力；②对带电小球、液滴、金属块等实际的物体没有特殊交代时，应当考虑其重力；③对未知名的、题中又未明确交代的带电粒子，是否考虑其重力，则应根据题给的物理过程及隐含条件具体分析后作出符合实际的决定．
4．带电粒子在复合场中的运动的分析方法
(1)当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解．
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解．
(3)当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动时，应选用动能定理或动量守恒定律列方程求解．
注意：如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，要根据动量守恒定律列方程，再与其他方程联立求解．
由于带电粒子在复合场中的受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，并根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解．
培优练习
1. 如图所示，粗糙程度均匀的绝缘斜面下方O点处有一负点电荷，带负电的小物体以初速度V1从M点沿斜面上滑，到达N点时速度为零，然后下滑回到M点，此时速度为V2（V2＜V1）。若小物体电荷量保持不变，OM＝ON，则
A．小物体上升的最大高度为
B．从N到M的过程中，小物体的电势能逐渐减小
C．从M到N的过程中，电场力对小物体先做负功后做正功
D．从N到M的过程中，小物体受到的摩擦力和电场力均是先减小后增大
2．如图所示，在一正交的电场和磁场中，一带电荷量为＋q、质量为m的金属块沿倾角为θ的粗糙绝缘斜面由静止开始下滑．已知电场强度为E，方向竖直向下；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里；斜面的高度为h．金属块滑到斜面底端时恰好离开斜面，设此时的速度为v，则

A．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，做的是加速度逐渐减小的加速运动
B．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，机械能增加了qEh
C．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，机械能增加了mv2－mgh
D．金属块离开斜面后将做匀速圆周运动
3. 如图所示，带电量为＋q的金属圆环质量为m。套在固定的水平长直绝缘圆柱体上，环与圆柱体间的动摩擦因数为μ，环的直径略大于圆柱体的直径，整个装置处在垂直于纸面向内的范围足够大的匀强磁场中。现给环向右的水平初速度v0，设环在运动过程中带电量保持不变，则环运动过程中的速度图像不可能是图中的

拓展1如图所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，磁场方向水平(图中垂直纸面向里)，一带电油滴P恰好处于静止状态，则下列说法正确的是(　　)
A．若仅撤去电场，P可能做匀加速直线运动
B．若仅撤去磁场，P可能做匀加速直线运动
C．若给P一初速度，P不可能做匀速直线运动
D．若给P一初速度，P可能做匀速圆周运动
A
v
B
C
D
图
拓展2. 如图所示，位于竖直面内的矩形区域内，存在竖直方向的匀强电场，一带电微粒以某一确定的水平初速度v由A点进入这个区域沿直线运动，从C点离开场区；如果将这个区域内电场的场强大小变为原来的2倍，仍让该带电微粒以相同的速度由A点进入，微粒将从B点离开场区；如果保持这个区域内电场的强弱不变，而将方向改变180°，仍让该带电微粒以相同的速度由A点进入，微粒将从D点离开场区。设粒子从C点、B点、D点射出时的动能分别为Ek1、Ek2、Ek3，从A点到C点、B点、D点所用的时间分别为t1、t2、t3，不计空气阻力。则（ ）
A．Ek1=Ek2=Ek3 B．Ek1<Ek2<Ek3
C．t1<t2=t3 D．t1=t2<t3
4. 一导体材料的样品的体积为a×b×c，A′、C、A、C′为其四个侧面，如图所示．已知导体样品中载流子是自由电子，且单位体积中的自由电子数为n，电阻率为ρ，电子的电荷量为e，沿x方向通有电流I．

(1)导体样品A′、A两个侧面之间的电压是________，导体样品中自由电子定向移动的速率是________．
(2)将该导体样品放在匀强磁场中，磁场方向沿z轴正方向，则导体侧面C的电势________(填“高于”、“低于”或“等于”)侧面C′的电势．
(3)在(2)中，达到稳定状态时，沿x方向的电流仍为I，若测得C、C′两侧面的电势差为U，试计算匀强磁场的磁感应强度B的大小．
5. 如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中．现有一质量为m、带正电的小滑块(可视为质点)置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为mg，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g.
(1)若滑块从水平轨道上距离B点s＝3R的A点由静止释放，滑块到达与圆心O等高的C点时速度为多大？
(2)在(1)的情况下，求滑块到达C点时受到轨道的作用力大小；
(3)改变s的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从G点飞出轨道，求滑块在圆轨道上滑行过程中的最小速度大小．

E
+q
6.如图所示，竖直平面内有一与水平面成θ=30°的绝缘斜面轨道AB，该轨道和一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BCD相切于B点。整个轨道处于竖直向下的匀强电场中，现将一质量为m带正电的滑块（可视为质点）从斜面上的A点静止释放，滑块能沿轨道运动到圆轨道的最高D点后恰好落到斜面上与圆心O等高的P点，已知带电滑块受到的电场力大小为Eq=mg，滑块与斜面轨道间的动摩擦因数为，空气阻力忽略不计。求：
（1）滑块经过D点时的速度大小；
（2）滑块经过圆轨道最低C点时，轨道对滑块的支持力FC ；
（3）A、B两点之间的距离d。

7. 如图所示，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场．一电荷量为q(q＞0)、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′．球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(0＜θ＜)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度B的最小值及小球P相应的速率．(已知重力加速度为g)

8. 如图所示，MN是一段在竖直平面内半径为1 m的光滑的1/4圆弧轨道，轨道上存在水平向右的匀强电场。轨道的右侧有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B1＝0.1 T。现有一带电荷量为1 C、质量为100 g的带正电小球从M点由静止开始自由下滑，恰能沿NP方向做直线运动，并进入右侧的复合场(NP沿复合场的中心线)。已知AB板间的电压为UBA＝2 V，板间距离d＝2 m，板的长度L＝3 m，若小球恰能从板的边沿飞出，g取10 m/s2。求： (1)小球运动到N点时的速度v；
(2)水平向右的匀强电场的电场强度E；
(3)复合场中的匀强磁场的磁感应强度B2。

9. 如下图，竖直平面坐标系xOy的第一象限，有垂直xOy面向外的水平匀强磁场和竖直向上的匀强电场，大小分别为B和E；第四象限有垂直xOy面向里的水平匀强电场，大小也为E；第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为R的半圆轨道，轨道最高点与坐标原点O相切，最低点与绝缘光滑水平面相切于N。一质量为m的带电小球从y轴上（y＞0）的P点沿x轴正方向进入第一象限后做圆周运动，恰好通过坐标原点O，且水平切入半圆轨道并沿轨道内侧运动，过N点水平进入第四象限，并在电场中运动（已知重力加速度为g）。
（1）判断小球的带电性质并求出其所带电荷量；
（2）P点距坐标原点O至少多高；
（3）若该小球以满足（2）中OP最小值的位置和对应速度进入第一象限，通过N点开始计时，经时间小球距坐标原点O的距离s为多远？

10. 在图所示的坐标系中，x轴水平，y轴垂直，x轴上方空间只存在重力场，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面向里的匀强磁场，在第Ⅳ象限由沿x轴负方向的匀强电场，场强大小与第Ⅲ象限存在的电场的场强大小相等。一质量为m，带电荷量大小为q的质点a，从y轴上y=h处的P1点以一定的水平速度沿x轴负方向抛出，它经过x= -2h处的P2点进入第Ⅲ象限，恰好做匀速圆周运动，又经过y轴上方y= -2h的P3点进入第Ⅳ象限，试求：
⑴质点到达P2点时速度的大小和方向；
⑵第Ⅲ象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小；
⑶质点a进入第Ⅳ象限且速度减为零时的位置坐标

答案
一、
1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.B 8.B 9.C

二、
1.B 2.A 3.B解析：由左手定则可判断粒子带负电，故A错误；由题意知：粒子的最大半径、粒子的最小半径，根据洛伦兹力提供向心力有，可得，所以、，则，所以选项B正确。本题答案为B。
4.C 5.A6. 解：（1）若粒子速度为v0，则qv0B =，所以有R =，
设圆心在O1处对应圆弧与ab边相切，相应速度为v01，
则R1＋R1sinθ =，
将R1 =代入上式可得，v01 =
类似地，设圆心在O2处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v02，则R2－R2sinθ =，
将R2 =代入上式可得，v02 = 所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足＜v0≤
（2）由t =及T =可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越长，在磁场中运动的时间也越长。由图可知，在磁场中运动的半径r≤R1时，运动时间最长，弧所对圆心角为（2π－2θ），
所以最长时间为t ==
o
y
x
B
C
A
·
·
·

r
300
O′
R′
D
7. 【解题思路】考查带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动。本题粒子的半径确定，圆心必定在经过AB的直线上，可将粒子的半圆画出来，然后移动三角形，获取AC边的切点以及从BC边射出的最远点。由半径公式可得粒子在磁场中做圆周运动的半径为R＝L，如图所示。让半圆向右移动，半圆与弧与BC边的交点即Q。当圆心处于O1位置时，粒子正好从AC边切过，并与BC边切过，因此入射点P1为离开B最远的点，满足PB＜L，A对；当圆心处于O2位置时，粒子从P2射入，打在BC边的Q点，由于此时Q点距离AB最远为圆的半径R，故QB最大，即QB≤L，D对。【答案】AD
8. 解析：⑴由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了900，则粒子轨迹半径
R=r，又，则粒子的比荷
⑵粒子从D点飞出磁场，速度方向改变了600角，故AD弧所对圆心角为600，粒子做圆周运动的半径
三、
1.D 2.D 3.D4. 【解析】(1)粒子自a点进入磁场，从O1点水平飞出磁场，则其运动的轨道半径为R．
由qv0B＝m，解得：B＝．
(2)粒子自O1点进入电场后恰好从N板的边缘平行极板飞出，设运动时间为t，根据类平抛运动规律有：
2R＝v0t ＝2n·()2
又t＝nT (n＝1,2,3…)
解得：T＝ (n＝1,2,3…) U0＝ (n＝1,2,3…)．

(3)当t＝时，粒子以速度v0沿O2O1射入电场，该粒子恰好从M板边缘以平行于极板的速度射入磁场，进入磁场的速度仍为v0，运动的轨迹半径为R．设进入磁场时的点为b，离开磁场时的点为c，圆心为O3，如图4－10丙所示，四边形ObO3c是菱形，所以Oc∥O3b，故c、O、a三点共线，ca即为圆的直径，则c、a间的距离d＝2R．
5. 解析：（1）该粒子在电场中做加速过程，由动能定理
粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律
联立解得
（2）由题意做作图像如答图所示。
（3）带电粒子在磁场中的运动周期
该粒子在两个磁场中分别偏转的弧度为，在磁场中的运动总时间

A
B
O
C
U
L
R
6. 【解析】⑴依题意，粒子经电场加速射入磁场时的速度为v，由动能定理得：
由 　　　①　　得 ②　
⑵要使圆周半径最大，则粒子的圆周轨迹应与AC边相切，设圆周半径为R
由图中几何关系：　　　③
由洛仑兹力提供向心力： ④
联立②③④解得 ⑤
A
B
O
C
L
U
θ
⑶设粒子运动圆周半径为r， ，当r越小，最后一次打到AB板的点越靠近A端点，在磁场中圆周运动累积路程越大，时间越长. 当r为无穷小，经过n个半圆运动，如图所示，最后一次打到A点. 有： ⑥
圆周运动周期： ⑦最长的极限时间 ⑧　
由⑥⑦⑧式得：　
7. 解：（1）设粒子在磁感应强度为B1的区域做匀速圆周运动的半径为r，周期为T1，则
r =r=mv/qB1 ……（1分）,　r = 1.0 m ……（1分）；　T1 ==2 π m /qB1…… （1分）
由题意可知，OP = r，所以粒子沿垂直x轴的方向进入时，在B1区域运动的时间最长为半个周期，即
t0 =T1/ 2 ……（2分），　　解得t0 = 1.57×10–5 s ……（2分）
（2）粒子沿+x轴的方向进入时，在磁感应强度为B1的区域运动的时间最短，这些粒子在B1和B2中运动的轨迹如图所示，在B1中做圆周运动的圆心是O1，O1点在虚线上，与y轴的交点是A，在B2中做圆周运动的圆心是O2，与y轴的交点是D，O1、A、O2在一条直线上。
由于OC =r ……（1分）；所以∠AO1C = 30°……2分）
则t1=T1/12 ……（2分）
设粒子在B2区域做匀速圆周运动的周期为T2，则　
T2 = ……（1分）
由于∠PAO1 =∠OAO2 =∠ODO2 = 30°……（1分）
所以∠AO2D = 120°……（2分）
则t2 = ……（2分），由t2 = 4 t1 ，　解得B2 = 2B1 ……（1分）．B2 = 4×10–2 ……（1分）
四、
1.AC 2.C 3.C 拓展1.D 2.B
4. 【解析】(1)由题意知，样品的电阻R＝ρ· 根据欧姆定律：U0＝I·R＝
分析t时间定向移动通过端面的自由电子，由电流的定义式I＝可得v＝．
(2)由左手定则知，定向移动的自由电子向C′侧面偏转，故C侧的电势高于C′侧面．
(3)达到稳定状态时，自由电子受到电场力与洛伦兹力的作用而平衡，则有：q＝qvB
解得：B＝．
5.【答案】(1)设滑块到达C点时的速度为v，由动能定理得
qE(s＋R)－μmgs－mgR＝mv2－0，而qE＝，解得v＝.
(2)设滑块到达C点时受到轨道的作用力大小为F，则F－qE＝m，解得F＝mg.
(3)要使滑块恰好始终沿轨道滑行，则滑至圆轨道DG间某点，由电场力和重力的合力提供向心力，此时的速度最小(设为vn)，则有＝m，解得vn＝.
6.解析：（1）滑块从D到P过程中做类平抛运动： 得：
得：
（2） 滑块 C→D：根据动能定理 得：
得：
（3）滑块A→B：根据动能定理
得：
B→C： 得：
7. 【解析】据题意可知，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O′．P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力FN和磁场的洛伦兹力f洛，则：f洛＝qvB　(1分)
式中v为小球运动的速率，洛伦兹力f洛的方向指向O′
根据牛顿第二定律有：FNcos θ－mg＝0　(2分)f洛－FNsin θ＝m　(2分)
可得：v2－v＋＝0　(2分)
由于v是实数，必须满足：Δ＝()2－≥0　(2分)
由此得：B≥　(1分)
可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度B的最小值为：Bmin＝
此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为：v＝　(2分)解得：v＝sin θ．　(1分)
8. 解析：(1)小球沿NP做直线运动，由平衡条件可得：mg＝qvB1得v＝10 m/s。
(2)小球从M点到N点的过程中，由动能定理得：mgR＋qER＝mv2
代入数据解得：E＝4 N/C。
(3)在板间复合场小球受电场力qUBA/d＝1 N/C，与重力平衡，故小球做匀速圆周运动
设运动半径为R′，由几何知识得：R′2＝L2＋(R′－)2解得：R′＝5 m
由qvB2＝mv2/R′，解得：B2＝0.2 T。
9. 【解析】（1）小球进入第一象限正交的电场和磁场后，在垂直磁场的平面内做圆周运动，说明重力与电场力平衡，qE＝mg①得② 小球带正电。
（2）小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，设匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为