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椭圆中的一组“定值”命题
圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。笔者在长时间的教学实践中，以椭圆为载体，探索总结出了椭圆中一组“定值”的命题，当然属于瀚宇之探微，现与同学们分享。希望对同学们的学习有所帮助，也希望同学们能在双曲线、抛物线等的后续学习中，能够利用类比的方法，探索总结出相关的结论。
命题1 经过原点的直线与椭圆相交于M、N两点，P是椭圆上的动点，直线PM、PN的斜率都存在，则为定值.
证明：设，，，则（*），而点P、M均在椭圆上，故，，代入（*）便可得到.
练习： 已知A、B分别是椭圆的左右两个顶点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，则 . （答案：）.
命题2 设A、B、C是椭圆上的三个不同点，B、C关于轴对称，直线AB、AC分别与轴交于M、N两点，则为定值.
证明：设，，，则直线AB的方程为，令得M点的横坐标，同理可得N点的横坐标，于是，由于，因此有.
练习： 设分别是椭圆的上下两个顶点，P是椭圆上异于的动点，直线分别交轴于M、N两点，则 . （答案：25）.
命题3 过椭圆上一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值.
证明：设直线PM的方程为，则直线PN的方程为， 联立和组成方程组，消去y可得.设，则，可得，同理可得， 则， ，于是， 故直线MN的斜率为.
练习： 已知椭圆，过点作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，分别交椭圆于P、Q两点，则直线PQ的斜率为 . （答案：）.
命题4分别过椭圆上两点作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值.
证明：设直线PM的方程为，联立和组成方程组，消去y可得. 设，则，可得，同理可得，则，，于是有. 因为点P、Q都在椭圆上，所以，，两式相减可得，同理可得，令①，②，则，将①、②代入便有，即直线MN的斜率为定值.
练习： 分别过椭圆上两点作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，交椭圆于另外两点P、Q，则直线PQ的斜率为 . （答案：）.