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常用逻辑用语习题及答案
1．(2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
【解析】　命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，将条件与结论进行否定．
∴否命题是：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3.
【答案】　A
2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】　若a＝2，则(a－1)(a－2)＝0，
但(a－1)(a－2)＝0，有a＝1或a＝2，即(a－1)(a－2)＝0 a＝2.
∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．
【答案】　A
3.(2011·湖北高考)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　)
A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
【解析】若φ(a，b)＝0，则＝a＋b，
∴a＋b≥0且a2＋b2＝a2＋b2＋2ab，
因此ab＝0且a＋b≥0.
∴a≥0，b≥0且ab＝0，“a与b”互补．
则φ(a，b)＝0是a与b互补的充分条件．
显然a≥0，b≥0，且ab＝0时，有a2＋b2＝(a＋b)2，
∴φ(a，b)＝－(a＋b)＝a＋b－(a＋b)＝0，
故φ(a，b)＝0是a与b互补的充要条件．
4.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【尝试解答】　(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a.
当a＝1时，1＜x＜3，
又得2＜x≤3.
由p∧q为真．
∴x满足即2＜x＜3.
所以实数x的取值范围是2＜x＜3.
(2)由¬p是¬q的充分不必要条件，知
q是p的充分不必要条件，
由A＝{x|a＜x＜3a，a＞0}，B＝{x|2＜x≤3}，
∴BA.
因此a≤2且3＜3a.
所以实数a的取值范围是1＜a≤2.
评析：．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
提醒：列关于参数的不等式时要考查端点值是否能取到，常用的方法是代入端点值验证是否符合题意．
5.已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
【解】　化简，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}，
①当a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}；
②当a＜时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}．
因为p是q的充分条件，
所以A⊆B，于是有
解得1≤a≤3.
或解得a＝－1.
故a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}．
6.(2011·山东高考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　由y＝f(x)是奇函数⇒y＝|f(x)|是偶函数；但y＝|f(x)|的图象关于y轴对称y＝f(x)为奇函数．
∴“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要不充分条件，选B.
7．(2011·陕西高考)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
8．(2011·浙江高考)设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　∵0＜ab＜1，∴a，b同号，且ab＜1.
∴当a＞0，b＞0时，b＜；当a＜0，b＜0时，b＞.
∴“0＜ab＜1”是“b＜”的不充分条件．
而取b＝－1，a＝1，显然有b＜，但不能推出0＜ab＜1，
∴“0＜ab＜1”是“b＜”的不必要条件
9．(2011·辽宁高考)已知命题p：∃n∈N，2n＞1 000，则綈p为(　　)
A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N，2n＞1 000
C．∃n∈N，2n≤1 000 D．∃n∈N，2n＜1 000
【解析】　由于特称命题的否定是全称命题，因而綈p为∀n∈N，2n≤1 000.
【答案】　A
10．(2012·郑州一中月考)已知命题p：“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(0，2)
C．(2，3) D．(2，4)
【解析】　由p是假命题可知，∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0恒成立，
故Δ＝4a2－4a＜0，解之得0＜a＜1.
【答案】　A
11.(2012·南京模拟)已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　)
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)　　　 B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
【思路点拨】　由2ax0＋b＝0，知f(x)在x＝x0处取得极小值，从而做出判断．
【解析】　由f(x)＝ax2＋bx＋c，知f′(x)＝2ax＋b.
依题意f′(x0)＝0，
又a＞0，所以f(x)在x＝x0处取得极小值．
因此，对∀x∈R，f(x)≥f(x0)，C为假命题．
【答案】　C
12.(2011·中山模拟)设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的 (　　)
A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由N是M的真子集，则“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件，故选B.
答案：B
13.(2009·天津)命题“对任意x∈R,2x>0”的否定是 (　　)
A.不存在x0∉R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0>0
C.存在x0∈R,2x0≤0 D．对任意x∈R,2x≤0
解析：全称命题的否定为特称命题，“对任意x∈R,2x>0”的否定是“存在x0∈R,2x0≤0”．
答案：C
14.(2010·全国新课标)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是 (　　)
A．q1，q3　　 B．q2，q3　　
C．q1，q4　　 D．q2，q4
关键提示：先判断出p1，p2的真假，然后再进行相关的判断．
解析：因为y＝2x为增函数，y＝2－x为减函数，易知p1是真命题，p2是假命题，故q1，q4是真命题．
答案：C
15.[2011·湖南卷。 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件， 故选A.
16 [2011·天津卷] 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 当x≥2且y≥2时，一定有x2＋y2≥4；反过来当x2＋y2≥4，不一定有x≥2且y≥2，例如x＝－4，y＝0也可以，故选A.

17.[2011·天津卷] 设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
　【解析】 ∵A＝{x∈R| x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，
∴A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}．又∵C＝{x∈R|x(x－2)>0}＝{x∈R|x<0或x>2}，
∴A∪B＝C，即“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．
8．（2012年高考（辽宁理））已知命题p:x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,则p是 （　　）
A．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0
B．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0
C．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0
D．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0
19．（2012年高考（湖南理））命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是 （　　）
A．若α≠,则tanα≠1 B．若α=,则tanα≠1
C．若tanα≠1,则α≠ D．若tanα≠1,则α=
【解析】因为“若,则”的逆否命题为“若,则”,所以 “若α=,则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠”.
【答案】C
【点评】本题考查了“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题的能力.

20．（2012年高考（湖北理））命题“,”的否定是 （　　）
A．, B．,
C．, D．,
考点分析:本题主要考察常用逻辑用语,考察对命题的否定和否命题的区别.
解析:根据对命题的否定知,是把谓词取否定,然后把结论否定.因此选D
21．（2012年高考（福建理））下列命题中,真命题是 （　　）
A． B．
C．的充要条件是 D．是的充分条件
【解析】A,B,C 均错,D正确
【答案】D
【考点定位】此题主要考查逻辑用语中的充分必要条件,考查逻辑推理能力、分析判断能力、必然与或然的能力.
22．已知命题，，则（　　）C
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
23、平面向量，共线的充要条件是（ ）D
A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量
C. ， D. 存在不全为零的实数，，
24.有四个关于三角函数的命题：A
：xR, += : x、yR, sin(x-y)=sinx-siny
: x,=sinx : sinx=cosyx+y=
其中假命题的是（A）， （B）， （C）， （D），
25.已知命题
：函数在R为增函数，：函数在R为减函数，
则在命题：，：，：,：中，真命题是C
（A）， （B）， （C）， （D），
26.已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题A

其中的真命题是（A） （B） （C） （D）
27..【2012高考山东文5】设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是
(A)p为真　　　(B)为假　　　　(C)为假　　　(D)为真
【答案】C
28.【2012高考天津文科5】设xR，则“x>”是“2x2+x-1>0”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
29．下列命题中，真命题是（　　）．
Ａ．，使函数是偶函数　　　
Ｂ．，使函数是奇函数　　　　
Ｃ．，使函数都是偶函数　　　　
Ｄ．，使函数都都是奇函数　
【解】当时，函数是偶函数，故选Ａ．
此外，，函数都都不是奇函数，因此排除Ｂ，Ｄ．
，则函数既不是奇函数也不是偶函数．因此排除Ｃ
30. 浙江理若．“”是“”的 A
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
31．下列命题中是假命题的是(　　)
A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ
B．对任意x>0，有lg2x＋lgx＋1>0
C．△ABC中，A>B的充要条件是sin A>sin B
D．对任意φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
解析：选D.对于A，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A是真命题；对于B，注意到lg2x＋lg x＋1＝2＋≥>0，因此选项B是真命题；对于C，在△ABC中，由A>B⇔a>b⇔2Rsin A>2Rsin B⇔sin A>sin B(其中R是△ABC的外接圆半径)，因此选项C是真命题；对于D，注意到当φ＝时，y＝sin(2x＋φ)＝cos 2x是偶函数，因此选项D是假命题．
32．在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.